现代控制理论第5章ppt

2021年4月6日第5章第1页第5章控制系统的稳定性5.1外部稳定性与内部稳定性5.2李亚普诺夫定义下的稳定性5.3李亚普诺夫判稳第一法5.4李亚普诺夫判稳第二法5.5李亚普诺夫法在线性系统中的应用5.6李亚普诺夫第二法在非线性系统中的应用5.7基于李亚普诺夫第二法的参数最优问题5.8基于李亚普诺夫第二法的模型参考控制系统第5章第2页2021年4月6日•外部稳定性：系统在零初始条件下通过其外部状态，即系统的输入输出关系所定义的（零状态响应）。适用于线性系统。•内部稳定性：系统在零输入条件下，由内部状态变化所定义。适用于线性、非线性系统。（零输入响应）对于同一线性系统。只有在一定条件下，两种定义才具有等价性。李雅普诺夫方法：适用于线性、非线性、时变系统。第5章第3页2021年4月6日包括零状态响应和零输入响应。零状态响应和经典理论中稳定性问题一样，考虑外部稳定性问题。而零输入响应的稳定性问题，即研究齐次方程由任意非零初态引起的响应的稳定性问题，这是一种内部稳定性问题。1892年，俄国人李雅普诺夫发表了《运动稳定性的一般问题》的博士论文，提出了分析稳定性的两种有效方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只适用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法。显然，第二种方法对线性、非线性系统都适用。000()()()()()tttttttdxxBu在状态空间中，2021年4月6日第5章第4页5.1外部稳定性与内部稳定性第5章第5页2021年4月6日5.1.1外部稳定性•有界输入有界输出稳定性；•线性动态系统；•零初始条件。•定义：初始条件为零的系统，任何一个有界输入作用下系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。•BIBO稳定：BoundedinputBoundedoutput第5章第6页2021年4月6日1.单输入单输出系统（模的有界性）11(),0,0utmmt22(),0,0ytmmt第5章第7页2021年4月6日2.多输入多输出系统（模的有界性）可用每个分量的模的有界性表征。(),1,2,...,,0,0iiiutmirmt(),1,2,...,,0,0ijjytmimmt1212()(),(),...,()()(),(),...,()TrTmtutututtytytytuy第5章第8页2021年4月6日5.1.2内部稳定性零输入条件下的系统称为自治系统，其自治状态方程为000(),()=,ttttxAxxx内部稳定性完全由内部状态变化所定义，考虑的是系统的零输入响应，适用于线性、非线性、定常、时变等系统。其定义为：系统由任意非零初态x(t0)引起的响应xu(t)有界，并满足渐近属性lim()uttx对于一般情况，内部稳定性指自治系统状态运动的稳定性，实质上，内部稳定性等同于下一节将介绍的李亚普诺夫渐近稳定性。第5章第9页2021年4月6日例5.1单输入单输出系统的初始状态为x0，分析系统的外部与内部稳定性。uyxAx+bcx解：系统在输入u的作用下系统的输出响应为0120()()()()tytttudyyxccby1为零输入响应，y2为零状态响应。1）根据外部稳定性的定义，有x0=0，若系统对任何有界输入11(),0,0utmmt2220()()()(),0,0tytyttudmmtcb则该系统具有外部稳定性。即零状态响应为等幅振荡或衰减响应。（系统传递函数的极点全部具有负实部。）第5章第10页2021年4月6日系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式2）根据内部稳定性的定义，有u=0，系统由任意非零初态x0引起的响应xu(t)为200()(),0tutytetAxxxlimtte0A对于线性定常系统，满足上式的条件是系统矩阵A的所有特征值全部具有负实部。可见，对于同一系统，只有在一定条件下，外部稳定性与内部稳定性两种定义才具有等价性。第5章第11页2021年4月6日注：对单输入单输出线性定常系统uyxAx+bcx具有外部稳定性的充要条件是其传递函数1)(()WsscIAb所有极点都位于s平面的左半面。（包含临界稳定）（未考虑零极点对消，只考虑了能控且能观的状态）2021年4月6日第5章第12页5.2李亚普诺夫定义下的稳定性李雅普诺夫定义：针对系统的平衡状态，适用于单变量、线性、定常系统、多变量、非线性、时变系统。0()tteAx=x衰减与否第5章第13页2021年4月6日5.2.1系统的平衡状态()e0xfxAx自制系统：不受外部作用(,)txfx(,)et0xfx若对任意时间t则称xe为系统的平衡状态，也称系统的零解1.线性定常系统的平衡状态n维状态空间的坐标原点是一个平衡状态00A（1）A为非奇异阵，原点是唯一平衡状态（2）A为奇异阵，还有其他平衡状态第5章第14页2021年4月6日例：12201000100000xxxAAx注意：在t0时刻的平衡状态，指t≥t0时，所有满足A(t)x=0的状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。由Ax=0，可知平衡状态为x1∈R,x2=0原点必为一个平衡状态。第5章第15页2021年4月6日2.非线性系统的平衡状态非线性系统可能有不同的平衡状态，其稳定性可能不同。例：12122210(,)sin0xxxxxxf0,,,,000ex由平衡状态定义，令f(x1,x2)=0，可求得平衡状态120xkx第5章第16页2021年4月6日注：★1、线性系统的任意平衡状态均可通过坐标变换将其移到状态空间原点，其稳定性是一致的。不失一般性的，我们认为线性系统的平衡状态确定为xe=0。2、对线性定常系统，可以认为是研究系统的稳定性；而对其他系统，只能认为是研究某一平衡态下的稳定性。第5章第17页2021年4月6日5.2.2状态矢量范数范数表示状态矢量x与平衡状态xe之间的距离。2221122()()()eeenenxxxxxxxx222121212enTnn0xxxxxxxxxxx21122122221231.1,2.2,3.3,nnnxxxxxxxxxx第5章第18页2021年4月6日如图所示三个系统，均处于平衡状态，考察其受扰动作用，自平衡状态偏离后的系统响应。（a）自由响应有界；（b）自由响应有界，且最终返回原来初态；（c）自用响应无界。(a)(b)(c)李雅普诺夫把以上三种情况分别定义为稳定、渐近稳定、不稳定。5.2.3李亚普诺夫意义下的稳定性定义第5章第19页2021年4月6日1.稳定（1）定义：设系统的初始状态x0处在状态空间中，位于以平衡状态xe为球心，半径为δ的闭球域s(δ)内，即||x0-xe||≤δ，t=t0若系统由初态x0出发的系统响应x(t；x0，t0)在t→∞的过程中都位于以平衡状态xe为球心，半径为ε的闭球域s(ε)内，即||x(t；x0，t0)-xe||≤ε，t≥t0则称动力学系统的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，或称系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。式中，||•||表示向量的范数（模）。如果δ的大小与t0无关，则称x是李雅普诺夫意义下的一致稳定；否则为局部稳定。第5章第20页2021年4月6日（2）李雅普诺夫稳定性定义的几何解释（考虑x0=0）：在状态空间中，任给一个以坐标原点为中心的球域s(ε)，无论多小，都能找到一个以原点为中心的球域s(δ)，使任何从s(δ)出发的运动轨迹，都不超出s(ε)。考虑二维空间，s(ε)、s(δ)均为一个圆。不稳定不稳定x1x2s(δ)s(ε)x0稳定第5章第21页2021年4月6日2、渐近稳定(重要)（1）定义：如果平衡状态x0不仅是李雅普诺夫意义下稳定的，且从球域S(δ)出发的任意解x，时间趋于无穷大时，不仅不会超出球域S(ε)，而且最终收敛于平衡状态xe或其邻域，即00lim||(;,)||0etttxxx则称平衡状态xe是渐近稳定的。（2）几何含义注意，渐近稳定首先应是李雅普诺夫意义下的稳定。第5章第22页2021年4月6日x1x2s(δ)s(ε)x0渐近稳定工程上往往喜欢渐近稳定，因为希望干扰除去后，系统又会回到原来的工作状态，这个状态正是我们设计系统时所期望的，也就是前面所说的平衡状态。无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定，都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围xe的小范围内，能找到δ和ε满足定义中条件即可。至于从s(δ)外的状态出发的运动，却完全可以超出s(ε)。因此，上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。第5章第23页2021年4月6日而从实用观点出发，仅仅判知系统是小范围渐近稳定的，系统不一定能正常工作，一旦实际存在的干扰，使系统的初始状态偏离而超出s(δ)的范围，就会导致x有可能不返回xe。解决办法是确定渐近稳定的最大范围。然后把实际干扰的大小限制在此范围内。实际上，此范围的确定非常困难，且限制干扰的大小，也不一定能做到。因此，工程上对大范围渐近稳定更感兴趣。第5章第24页2021年4月6日3.大范围渐近稳定(重要)如果系统在任意初始条件下的解x，当t→∞的过程中，收敛于平衡状态xe或其邻域，则平衡状态xe是渐近稳定的，且其范围包含整个状态空间，则称xe是大范围渐近稳定，或称全局渐近稳定的平衡状态。大范围渐近稳定的必要条件是：状态空间中系统中只有一个平衡状态。（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）例：,0xAxA可知零状态必然是系统的平衡状态，而若零状态渐近稳定，因为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。可见，线性系统稳定性与初始条件无关。第5章第25页2021年4月6日4.不稳定如果无论δ的值有多么小，即初始状态x0与平衡状态xe非常接近，而由球域s(δ)内出发的任意解，只要有一条轨迹离开球域s(ε)，则系统的平衡状态xe是不稳定的。第5章第26页2021年4月6日由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S(ε)对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域，是局部性能。第5章第27页2021年4月6日局部渐近稳定局部不稳定稳定不稳定大范围渐近稳定局部稳定第5章第28页2021年4月6日1.线性定常系统：任一孤立平衡状态，都可通过坐标变换移到状态空间的原点，分析原点的稳定性具有代表性。2.非线性系统：各个平衡点的稳定性不同，应该分别分析各平衡状态xe的稳定性。3.稳定只要求状态轨迹在球域s(ε)中，而渐近稳定要求x最终收敛于或无限接近于平衡状态xe。4.实际中希望xe为大范围渐近稳定。5.对于线性系统：若平衡状态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定。6.在经典控制理论中的稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统；在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。结论（重要）第5章第29页2021年4月6日例5.2解令u=0，系统的平衡状态为00000010,0,(0),00022utxAx+bAbxx122331230000001010,0022000eeeexxxxxxkxx0xAxxxxe1=任意值第5章第30页2021年4月6日