大学课件-概率论9.1

§9.1假设检验的思想方法若对参数有所了解但有怀疑猜测需要证实之时用假设检验的方法来处理若对参数一无所知用参数估计的方法处理假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设.所作假设可以是正确的,也可以是错误的.“假设”这个词在这里就是其正确与否有待通过样本去判断的陈述。而“检验”就是判断的意思。为判断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒绝所作假设的决定.何为假设检验?假设检验所以可行,其理论背景为实际推断原理,即“小概率原理”假设检验的内容参数检验（本书内容）非参数检验总体均值,均值差的检验总体方差,方差比的检验分布拟合检验（本书内容）符号检验（非本书内容）秩和检验（非本书内容）假设检验的理论依据引例1某产品出厂检验规定:次品率p不超过4%才能出厂.现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品,问能否出厂？01.00097.0)1()3(9331212ppCP代入04.0p解假设0.04,p04.0p这是小概率事件,一般在一次试验中是不会发生的,现一次试验竟然发生,故认为原假设不成立,即该批产品次品率,则该批产品不能出厂.引例1这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受原假设,即该批产品可以出厂.3.0306.0)1()1(11111212ppCP若不用假设检验,按理不能出厂.注104.0083.012/1直接算注2本检验方法是概率意义下的反证法，故拒绝原假设是有说服力的,而接受原假设是没有说服力的.因此应把希望否定的假设作为原假设.对总体提出假设1~(;)(1),0,1xxXfxpppx04.0:;04.0:10pHpH要求利用样本观察值)13(121orxii对提供的信息作出接受(可出厂),还是接受(不准出厂)的判断.0H1H),,,(1221xxx出厂检验问题的数学模型某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2,而实际生产的强度X服N(,3.62).若E(X)==68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.为此提出如下假设:H0:=68称为原假设或零假设原假设的对立面:H1:68称为备择假设引例2引例2假设检验的任务必须在原假设与备择假设之间作一选择若原假设正确,则2~(68,3.6/36)XN因而()68EX,即X偏离68不应该太远,故取较大值是小概率事件.683.6/6X可以确定一个常数c使得683.6/6XPc因此,取,则05.0现从整批螺钉中取容量为36的样本,其均值为,问原假设是否正确?5.68x20.0251.96cuu由为检验的接受域(实际上没理由拒绝),现5.68x落入接受域,则接受原假设681.963.6/6X69.1866.824或即区间(,66.824)与(69.18,+)为检验的拒绝域称的取值区间X(66.824,69.18)H0:=680000010(01)()//,,(),.XpknXkknkknnHHHZ参照引例2，在提出假设、选取统计量的基础上选择一个小的正数，使当确定后，不等式确定了关于的一个区域当落入此区域时，就拒绝接受这类区域为的拒绝域，记为假设检验的基本步骤（1）提出假设；（2）找统计量（要求该统计量含有待检验的参数，称为检验统计量）；（3）求临界值（即求接受域）；（4）算出观察值；（5）作出判断。由引例2可见,在给定的前提下,接受还是拒绝原假设完全取决于样本值,因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：第一类错误弃真错误第二类错误存伪错误任何检验方法都不能完全排除犯错假设检验的指导思想是控制犯第一类误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往使另一个增大.错误的概率不超过,然后,若有必要,通过增大样本容量的方法来减少.P(拒绝H0|H0为真)若H0为真,则2~(68,3.6/36)XN所以,拒绝H0的概率为,又称为显著性水平,越大,犯第一类错误的概率越大,即越显著.引例2中，犯第一类错误的概率05.0(66.82469.18)PXXH0不真,即68,可能小于68,也可能大于68,的大小取决于的真值的大小.0853.09147.01)37.1()3.5(下面计算犯第二类错误的概率设=P(接受H0|H0不真)6.06682.666.06618.6966(66.8269.1866)PX266,36,~(66,3.6/36)nXN若6177.00002.06179.0)63.3()3.0(6.06982.666.06918.69)6918.6982.66(69XP存伪的概率较大.269,36,~(69,3.6/36)nXN6062.56567.57072.5750.020.040.060.080.10.1267.57072.57577.58082.50.020.040.060.080.10.12/2/2H0真H0不真图仍取=0.05,则20.0251.96cuu681.963.6/8X由可以确定拒绝域为(,67.118)与(68.882,+)因此，接受域为(67.118,68.882)现增大样本容量,取n=64,=66,则2~(66,3.6/64)XN0853.00064.09936.01)49.2()4.6(69(67.1268.8869)0.39360.6177PX)1,(045.06612.6745.06688.68)66882.68118.67(66XP当样本容量确定后,犯两类错误的命题概率不可能同时减少.01100:;:HH此时犯第二类错误的概率为)(00伪接受HHP01()PXk10()HPXk1110(())HPXk100101()()HnnkXP))((001nk证设在水平给定下,检验假设20~(,)XN证明zkn0)(001nz221()2xzedxu又010100()nnuuuu即由此可见,当n固定时1)若zz2)若zz(见注)证毕.注11()()()PXuuu11(1)1()PXu从而当时1210~(,/)XNn10~(0,1)/XXNn一般,作假设检验时,先控制犯第一类错误的概率,在此基础上使尽量地小.要降低一般要增大样本容量.当H0不真时,参数值越接近真值,越大.备择假设可以是单侧,也可以双侧.H0:=68；H1:68注1º注2º引例2中的备择假设是双侧的.若根据以往生产情况,0=68.现采用了新工艺,关心的是新工艺能否提高螺钉强度,越大越好.此时可作如下的右边假设检验:关于原假设与备择假设的选取H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类错误的概率的原则下,使得采取拒绝H0的决策变得较慎重,即H0得到特别的保护.因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误.注3º假设检验步骤(三部曲)其中)(VVP根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1在H0为真时,选择合适的统计量V,由H1确给定显著性水平,其对应的拒绝域)()(221VVVV双侧检验)(1VV左边检验定拒绝域形式根据样本值计算,并作出相应的判断.右边检验)(VV三部曲