大学课件-概率论之大数定律和中心极限定理

§5.1大数定律§5.2中心极限定理第五章大数定律与中心极限定理§5.1大数定律学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。若随意观察10个学生的身高X1,X2,…,X10，则10个数据的均值(X1+X2+…+X10)/10与a较接近；若随意观察100个学生的身高X1,X2,…,X100，则100个数据的均值(X1+X2+…+X100)/100与a更接近；若随意观察n个学生的身高X1,X2,…,Xn，则n个数据的均值(X1+X2+…+Xn)/n与a随着n的增大而接近；依概率收敛PnXY弱大数定律讨论的就是依概率收敛.:lim()()0nnPXY若对任意的0，有则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于Y,记为设有随机变量序列X1,X2,…,Xn和随机变量Y以概率1收敛强大数定律讨论的就是以概率1收敛..asnXYlim()()(:)1nxXYP如果则称随机变量序列{Xn}以概率1收敛于Y,记为设有随机变量序列X1,X2,…,Xn和随机变量Y可以证明，若则.asnXYPnXY大数定律一般形式：若随机变量序列{Xn}满足：1111[]lim0nniiiinXEXnnP则称{Xn}服从大数定律.切比雪夫大数定律121212,,,,1,2,,0lim0.(5.1.5)=E5.1.1[]()（切比雪夫弱大数定律）设为独立随机变量，则对任意中定理有其nninXXiXXXPnXVarXnCXX马尔科夫不等式若X是非负值的随机变量，E(X)存在,则对任意常数0，有证明：用连续型随机变量证明。设X的密度函数为f(x).由于X只取非负值，当x0时，f(x)=0()()/XXPE0()()()()()()()()EXxfxdyxfxdxfxdxfxdxPXEXPX切比雪夫不等式若D(X)存在，则对任意常数0，有证明：用将马尔科夫不等式中的X替代，用2(|()|)D()PXEXX2(())XEX2代替22222(())((()))()(|()|)EXEXPXEXDXPXEX121212122,,[]5.1.10.（切比雪夫弱大数定律）由，的独立性有所以，由切比雪夫不等式，有证毕定理证：.明nininXXVarXXXXCVarnnnXXXCPnnn定理5.1.2(辛钦弱大数定律)若随机变量序列{Xn}独立同分布，且有有限的数学期望μ，则{Xn}服从大数定律.120lim0.(5.1.6)即对任意有nnXXXPn推论5.1.1伯努利大数定律（频率收敛于概率）设vn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中P(A)=p,则对任意的0，有lim0nnvPpn意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn=vn/n越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。不能说：因为可能有pnp情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。ppnnlim1111,2,00110(1),(1)1,lim在重伯努利试验中，设为第次试验时事件出现的当出现次数，则当不出现所有的的概率分布都相同（都是分布）有相同的均值（）（）频证明：率，由511或512都可推得：iiiiinnnniiiinnXiAAXiAXEXpppDXppvvXXnnP(||)0nvpn1221212,,,11(2),(2),221(0)1(1,2,3,.....)2{}设为一个相互独立的随机变量序列，其中证明：序列服从大数定理。例nnnnnnnnnnPPPn1221212222222212121212,,,1112(2)0(1)(1,2,..)222()()111(2)(2)0(1)(1,2,..)2221()()()0()1()0证：为一个相互独立的随机变量序列niiiiiiiiiiiiniiiinniDEEEiEEEEnnEDE12122222211(()()())1()1li()1m(0)lim0则根据契比雪夫不等式，得则nnnnnnnnnDnDDDnnnDPEnPDnn5.1.3强大数定律2221234563231323231321231{}[]2,[]6,,,.,{}{}5.5设是独立同分布的随机变量序列，且假设证明：并确定常数之值设=由于是的随机变量序列所以，习题独立同分布独也是的随机变量序列，且立解：同分布nnnPnnnkkkknnnkkXEXVarXXXXXXXXXXannaYXXXXYYXXX2245632313nnnXXXXXX22323133231323232313222112345632313[][][][]([])[][]6441,2[],,{},111444满足辛钦大数定律条件，所以kkkkkkkkkknnkknnknPEXXXEXEXXVarXEXEXEXknYYXXXXXXXXXnnnYaE11{}5.111{}假设某洗衣店为第个顾客服务的时间服从区间[5,53](单位：分钟)上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当时，次服务时间的算术平均值何值？依题意，显然有，是一个的随机变量序列，只要存在有限的公共数学期望，则的算术平均值依概率1收敛于其公共数学期望，由于习题以概率收敛服从[5,53]上的均匀分解：于独立同所分布以布，niiniininnXXnXXX1[](535)/229,1,2,,129.所以，当时，次服务时间的算术平均值（分钟）iniiEXinnnXnas§5.2中心极限定理设X1,X2,…,Xn是一系列随机变量，通常把论证和函数X1+X2+…+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”.121112,,,(X[X])5.2.1(0,1)(X),,设为独立随机变量序列，具有有限的数学期望和方差，若则称定义中心极限定理服从nnkkknkknXXXENDXXX定理5.2.1林德伯格—莱维中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为20，则{Xn}服从中心极限定理，即21221lim(XXX)12nntxPnxnedt说明：和函数Yn=X1+X2+…+XnE(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=nD(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=n2将Yn“标准化”：122Y(Y)Y1(XXX)(Y)nnnnnEnnDnn“标准化”后的和函数Yn的分布函数Fn(x):12Y(Y)()(Y)1(XXX)lim()()由定理知：nnnnnnnEFxPxDPnxnFxx和函数X1+X2+…+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不一定是正态分布。意义：若有无数多种因素X1,X2,…,Xn相互影响，每个因素的影响都很小，则所有这些因素的综合影响可认为是Y=X1+X2+…+Xn+…,则这些综合影响的结果呈现出正态分布。所以在自然界中很多问题都可用正态分布研究。例设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？解：设第i户居民每天的用电量为随机变量Xi，Xi服从均匀分布(i=1,2,….,1000)。2121120000010()(020)/210(1,2,,1000)1100()(200)(1,2,,1000)1231000,100010()1000100/3w户居民用电量为由林德伯格定理：现假设每天供应度电，则要iiEXXXiDXxXiXXXPx1210000.99求：PXXXw1210001000101000100.991000100/31000100/31000100.991000100/3XXXwPw100010(2.33)=0.99012.331000100/32.3310010/3+100010=10425.4由于所以ww每天至少供应10425.6度电。定理5.2.2(棣莫弗-拉普拉斯定理)设X1,X2,…,Xn是独立同分布(B(1,p)分布)的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0p1)i=1,2,…则对任意实数x，有证明：由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,….代入定理5.2.1的公式，=p,=有121lim()()(1)nnPXXXnpxxnpp121lim()()(1)nnPXXXnpxxnpp)1(pp定理5.2.2的另一种描述方式设vn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1),vn~B(n,p).则对任意实数x，有lim()(1)nnvnpPxxnpp这说明：若vn服从二项分布B(n,p)，计算P(t1≤vn≤t2)可用正态分布近似计算。121221()查分布表nnvnptnptnpPtvtPnpqnpqnpqtnptnpnpqnpq当n较小时，误差较大，公式可修正为2112()(1/2)(1/2)查正态分布表ntnptnpPtvtnpqnpq例5.2.2设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？解：设每天看电影的人编号1,2,3,…,1600,且令1i(1,2,,1600)0(1)3/4(0)1/4iiiXiPXPX若第号观众去新影院否则假设各观众去不去电影院是独立选择的,则X1,X2,…,X1600是独立的0-1分布的随机变量。设座位数是m，按要求有P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。P(X1+X2+…+X1600≤m-200)=0.11600(3/4)1200,103npnpq11600200(1/2)1200(200.10)103mPXXm200(1/2)1200200(1/2)1200110310310.10.9mm(1.28)0.9200(1/2)12001.28103(140012.830.5)1377查表得，