高数下试卷分类解析-02积分

高数（下）分类解析-积分2011级一、4.假设:01,01Dxy,则xyDxed2e5.设L为2yx上0,0与1,1之间的弧段，则Lxds55112四、（本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面，设n是上的单位外法向量，是所围成的区域，证明：三重积分divndv,的面积证明设cos,cos,cosn，则由于高斯公式条件满足，从而有coscoscosdivndvdydzdzdxdxdycoscoscoscoscoscosdSdSdS222coscoscosdSdS的面积五、（本题8分）计算2222lnLxydxyxyxxydy,其中L是一段正弦曲线sin2yxx沿x增大方向解:令2222,lnPxyQyxyxxy,则22222,PyQyyyxxyxy，补线段1:0,:2Lyx从而1111122LLLLLLLDLDQPdxdyydxdyxdxxy20222223222sin11113sin3sincos23232xdxydyxxdxxdx24392另解原式2222212lnLLxydyxydxyxxydyII2222333221sinsinsinsinsin333LxxxxIxydyxxdxxddx23sin3xx22223223sin111140sincos1coscoscoscos333339xdxxdxxdxxx对于22222lnLIxydxyxxydy，由于令2222,lnPxyQyxxy,则2222,PyQyPQyxyxxyxy在原点以外成立，从而该曲线积分与路径无关，可以改变积分路径，取容易积分的曲线0,:2yx为积分路径得2222222223ln22LxIxydxyxxydyxdx，故原式24392六、（本题8分）计算1dSz,其中是球面2222xyza在平面0zhha之上的部分解由题意曲面为222zaxy，222222,zxzyxyaxyaxy则222221zzadSdxdydxdyxyaxy从而222222222111xyxyDDadSdxdyadxdyzaxyaxyaxy222222222222222000012ln2ahahahdarraddraaararar22lnln2lnln2lnaahaaahah七、（本题8分）计算曲面积分2Izxdydzzdxdy,其中为2212zxy介于0z与2z之间的部分得的下侧.解补平面区域221:24zxy取上侧.两曲面形成封闭曲面的外侧,围成由高斯公式12110zxdydzzdxdydv1228Dzxdydzzdxdydxdy故原式0(8)82010级1.一．3.假设L为圆222xya的右半部分,则22Lxyds2a二、（本题8分）计算三重积分222xyzdv,其中是由2221xyz所围成的闭区域.解原式2140004sin5ddd五、（本题8分）计算22Lxdyydxxy,其中L为(1)圆周22111xy(按反时针方向)(2)圆周1xy(按反时针方向)解:(1)令2222,yxPQxyxy,则22222PyxQyxxy在所围区域每点成立从而由格林公式220LDxdyydxQPxyxy(2)取1L为圆周220.01xy(按反时针方向)则在1L和L中间的区域1D内每一点成立22222PyxQyxxy从而由格林公式11220LLDxdyydxQPxyxy1112222111220.0120.010.010.01LLLDxdyydxxdyydxxdyydxdxdyxyxy六、（本题8分）计算ydS,是平面被圆柱面截出的有限部分解平面的法向量为111,1,1,1,1,1,cos33nn30xyDydSydxdy(由对称性)七、（本题8分）计算曲面积分2Iyzdzdxdxdy,其中为上半球面224zxy的上侧.解取一曲面221:04zxy,下侧.两曲面形成封闭曲面的外侧,围成有高斯公式122230002cossin4yzdzdxdxdyzdvddd1228Dyzdzdxdxdydxdy故原式122009级一、2、[4分]22Lxyds,其中222:Lxya5、[4分]交换二次积分的积分次序2131320010,,xxdxfxydydxfxydy四、[8分]求锥面22zxy被圆柱面222xyx割下部分的曲面面积（答案：2）五、[8分]计算22222000xxadxdyzxydz（答案：289a）六、[8分]计算曲面积分Ixyzdydzydzdxzdxdy，其中为半球面222zRxy的上侧（答案：343R）七、[7分]计算曲线积分2211Lxdyydxxy，其中L表示包含点(0,1)A内的简单闭曲线,沿逆时针方向。（答案：2）2008级4、[4分]交换二次积分的积分次序2220,yydyfxydx402,xxdxfxydy5、[4分]设曲面为柱面221xy介于平面0z与1z部分的外侧，则曲面积分22xydxdy0，22xydS2四、[7分]求球面2224xyz含在圆柱面222xyx内部的那部分面积解：上半球面的部分为22221:4,:2zxyDxyx2222222,,444xyxyzzdSdxdyxyxyxy112cos22220022288244rdrSdSdxdydxyr五、[7分]计算三重积分2xyzdv，其中.是由单位球面2221xyz围成的闭区域解：由对称性0xydvyzdvzxdv，从而21222222000sinxyzdvxyzdvddrrdr1154000042sin2cos55rdrdr六、[7分]计算曲面积分23zxdydzxydzdxyzdxdy，其中是圆锥面22zxy位于平面之间下方部分的下侧解：取221:2,:4zDxy上侧则原式112131122223dvydxdydvydxdy2200sin2drrdr22223200008888832sinsin4cos43333333rrdd七、[7分]计算曲线积分2Lydxxdyxy，其中L表示第四象限内以(0,1)A为起点(1,0)B为终点的光滑曲线。解：由于22432xyxxyxxyxxyxyxy，224321xyyxyyxyyxyxyxy从而只要路径不经过直线yx，该曲线积分就与路径无关取路径1,:01yxx，112200111Lydxxdyxxdxdxxy2007级5、[4分]设L为取逆时针方向的圆周229xy，则曲线积分2224Lxyydxxxdy186、设L为直线yx上由点0,0A到点1,1B之间的一段，则曲线积分2Lxyds24.二、[7分]计算二重积分222,xyDxyedD.是由1,,0yxyx所围成的闭区域解：作图知:01,0Dyxy2222111220000022112yyxyxyxyyDexyeddyxyedxyedxyedy三、[7分]计算三重积分zdv，其中.由222222xyzzxy所确定解：由交线22221222220,1,2xyzzzzzzxy（舍去）于是投影区域为22:1Dxy，柱坐标下为2202,01,2rrzr222122146242000011172124612rrzdvdrdrzdzdrrrdr四、[7分]计算22222xzdydzxyzdzdxxyyzdxdy，其中为半球222zaxy的上侧解：令2221:0,zxya取下侧。则1为半球体的外侧，由高斯公式原式122222222xyzdvxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy22522220000000sin22cos2sin5aaaDdddxydxdydrcorrdr425250022sin545araa（用对称性可以简化计算）五、[7分]计算1xydS，其中为抛物面221012zxyz解：22,,1xyzxzydSxydxdy，投影区域为22:2Dxy由对称性，原式22232220002211133133dSdrrdrr2006级3.已知曲面22:10zxyz，则22222441xyzdSxy（B）(A）2；(B)；(C)1；(D)122．曲线L为从原点到点(1,1)的直线段，则曲线积分22xyLeds的值等于21e3．交换积分次序后，ln10(,)exdxfxydy10(,)yeedyfxydx三、（本题7分）计算二重积分Dxyd，其中D是由抛物线2yx及直线2yx所围成的闭区域解：2221458yyIdyxydx四、（本题7分）计算三重积分zdv，其中是由柱面221xy及平面0,1zz所围成的闭区域解：112001,.22DIzdzordzdz五、（本题7分）计算xdydzydzdxzdxdy，其中为旋转抛物面221zxyz的上侧解：32xyDIdvdxdy六、（本题7分）计算3133xyxyLyexydxxexydy，其中L为从点,0a沿椭圆221x