数列的概念与简单表示法-优秀课件

数列数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法1.通过实例了解数列的概念．2．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类．3．了解数列与函数的关系，体会数列之间变量的依赖关系.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩1．数列及其有关概念(1)数列：按照一定_____排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的________叫做这个数列的项，第1项通常也叫做____，若是有穷数列，最后一项也叫做____．新知初探顺序每一个数首项末项2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为______，这里n是______．3．数列的分类(1)按项的个数分类类别含义_____数列项数有限的数列_____数列项数无限的数列{an}序号有穷无穷(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列常数列各项______的数列摆动数列从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列大于小于相等大于4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_________．序号n通项公式1．如何理解数列的概念？思考感悟提示：(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列．(2)数列中的项有三个性质．①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．②可重复性：数列中的数可以重复．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．2．数列与函数有何异同？提示：(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列与函数之间的关系是特殊与一般的关系．数列中的项是按一定顺序排好的一列数，当把数列看作函数时，数列的项的集合对应于函数的值域，但数列{an}与函数f(n)＝an(n∈N＋)是不同的，{an}中的元素具有有序性，如将a1，a2，a3，…，an排成a3，a1，a2，…，an则为不同的数列，而对于函数f(n)＝an(n∈N＋)来说却是一样的．(3)(n，an)表示相应函数an＝f(n)图象上一些离散的点．(4)数列同函数一样，可以有单调性、有界性、最值等．3．是否所有的数列都有通项公式？提示：不是．数列的通项公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．类型一数列的概念与分类[例1]已知下列数列：(1)2000,2004,2008,2012；(2)0，12，23，…，n－1n，…；典例导悟(3)1，12，14，…，12n－1，…；(4)1，－23，35，…，－1n－1·n2n－1，…；(5)1,0，－1，…，sinnπ2，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)[分析]由题目可获取以下主要信息：①注意省略号“…”及其位置；②观察数列的项的变化趋势与规律；③利用数列的通项公式．解答本题要紧扣数列的有关概念完成判断．[解](1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列(因为n－1n＝1－1n)；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.[答案](1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)(5)[点评]若数列{an}满足anan＋1，则是递增数列；若数列{an}满足anan＋1，则是递减数列；若存在正整数T(T为常数)使an＋T＝an，则数列的周期为T.解答本题应体现出“概念优先”原则．变式训练1分别写出下面的数列．(1)正整数1,2,3,4,5，…的倒数顺次构成的数列；(2)0到10的奇数按照从小到大的顺序构成的数列；(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，…顺次构成的数列．解：(1)1，12，13，14，15，….(2)1,3,5,7,9.(3)－2,4，－8,16，….类型二观察法求数列的通项公式[例2]根据下面数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)9,99,999,9999，…；(2)112，245，3910，41617，…；(3)－1,0，－1,0，…；(4)1，23，12，25，….[分析]应多角度、全方位地观察，寻找各项之间以及它们与序号n之间的内在联系．[解](1)注意到各项分别加1后，变为10,100,1000,10000，…，∴an＝10n－1.(2)每一项均可分成三部分：整数、分子、分母．整数部分等于序号n，分子是序号n的平方，分母等于分子加1.∴an＝n＋n2n2＋1.(3)an＝－1n为奇数，0n为偶数是此数列的一个通项公式．由于－1＝－12－12，0＝－12＋12.联想到(－1)n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成下列形式：an＝－12－(－1)n＋1×12＝12[－1－(－1)n＋1]．(4)各项的分母依次为1,3,2,5，似乎没有规律，我们可以大胆设想，分母如果是2,3,4,5就好了，又注意到奇数项的分子为1，故将奇数项的分子、分母同乘以2，于是得到an＝2n＋1.[点评]此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．变式训练2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)12，45，910，1617，…；(2)1,11,111,1111，…；(3)1，12，3，14，….解：(1)an＝n2n2＋1(n∈N*)；(2)an＝19(10n－1)(n∈N*)；(3)an＝nn为奇数，1nn为偶数.类型三数列的通项公式及数列中的项[例3]数列{an}中，已知an＝n2＋n－13(n∈N*)．(1)写出a10，an＋1，an2；(2)7923是不是该数列中的项？若是，是第几项．[分析](1)将项数n换为10，n＋1，n2即可；(2)由项7923求对应的项数，判断项数是否为正整数．[解](1)a10＝102＋10－13＝1093，an＋1＝n＋12＋n＋1－13＝n2＋3n＋13，an2＝n22＋n2－13＝n4＋n2－13.(2)假设7923是该数列的第n项，则7923＝n2＋n－13，∴n2＋n－240＝0，解之，得n＝15或n＝－16(舍去)．故7923是该数列的第15项．[点评]要判断一个数是否为数列中的项，可由通项等于这个数解出n，根据n是否为正整数可确定这个数是否是数列中的项．也就是说，判断某一个数是否是数列中的某一项，其实质就是看对应的方程是否有正整数解．变式训练3(1)600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第几项()A．20B．24C．25D．30(2)已知数列{an}的通项公式为an＝qn，且a4－a2＝72.①求实数q的值；②判断－81是否为此数列中的项．解析：(1)数列的通项an＝n(n＋1)＝600，n＝24.(2)①由题意知q4－q2＝72⇒q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.②当q＝3时，an＝3n，显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n，令(－3)n＝－81＝－34，也无解．∴－81也不是此数列中的项．故－81不是数列{an}中的项．答案：(1)B(2)见解析类型四数列的通项公式的应用[例4]数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项为负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[分析]数列的通项an与n之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识进行探求．[解](1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94.∴对称轴方程为n＝52＝2.5.又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值．其最小值为22－5×2＋4＝－2.[点评]数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，数列的通项公式就是函数的解析式，因此用函数的思想方法去解决数列问题，同时要注意函数的定义域．变式训练4已知数列{an}，an＝9n2－9n＋29n2－1，n∈N*.(1)求证：an∈(0,1)；(2)在区间(13，23)内是否存在an？若存在，有几项？若不存在，说明理由．解：(1)an＝9n2－9n＋29n2－1＝3n－13n－23n－13n＋1＝3n－23n＋1＝1－33n＋1，由于n∈N*，所以01－33n＋11，即an∈(0,1)．(2)令13an23，由an＝1－33n＋1，得131－33n＋123.所以1333n＋123，于是923n＋19，解得76n83.∴当且仅当n＝2时，在区间(13，23)内存在一项，即a2＝47.易错点：易忽略n为正整数可以将数列的通项公式看作函数，因为n为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R而导致出错．自我纠错[错题展示]求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项．[错解]由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2n－2942＋10818，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为10818.[错因分析]上述解法忽略了数列中的项数n应为正整数的条件．[正解]由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n－294)2＋10818.由于n∈N*，故当n取距离294最近的正整数7时，an取得最大值108.∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.[反思]数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})这一约束条件．1．数列中的{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an仅表示数列{an}的第n项an.思悟升华2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的解析式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如：数列：－1,1，－1,1，－1,1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝－1，n为奇数，1，n为偶数.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列．1．下列说法中正确的是()A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与－2，－1,0,1是相同的数列C．数列{n＋1n}的第k项为1＋1kD．数列0,2,4,6，…可记为{2n}答案：C2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)答案：C3．已知数列{an}满足an＝n2n2＋1(n∈N＋)，则0.98()A．是这个数列的项，且n＝6B．不是这个数列的项C．是这个数列的项，且n＝7D．是这个数列的项，且n＝±7解析：令an＝0.98，解得n＝7.答案：C4．数列{(－1)n－12n＋n}的前5项的和为________．答案：375．已知