正态分布的概率密度与分布函数-

概率论与数理统计第四章正态分布概率论与数理统计正态分布是最常见因而也是最重要的分布:1.很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；2.在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布近似计算；3.在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的和近似地服从正态分布；4.数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导得到的.§4.1正态分布的概率密度与分布函数§1正态分布的概率密度与分布函数概率论与数理统计定义.若随机变量X的概率密度为,,eπ21)(222)(xxfx其中及0都是常数，则称随机变量X服从正态分布(或高斯分布).记作：).,(~2NX§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的定义).1,0(~NX当,01时称X服从标准正态分布.特别，记为：概率论与数理统计正态分布),(2N的概率密度)(xf的图形：分布曲线的特征：1.关于直线x对称；2.在x处达到最大值；3.在x处有拐点；4.x时曲线以x轴为渐近线.§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的概率密度与分布函数xσπ21)(xfμo概率论与数理统计5.固定,改变.则图形沿x轴平移而不改变其形状.6.固定改变,,则当很小时，曲线的形状与一尖塔相似；当值增大时，曲线将趋于平坦.§4.1正态分布的概率密度与分布函数1σ5.7σ3σ5.1σox)(xf概率论与数理统计正态分布),(2N的分布函数为.,eπ21)(222)(xdxxFxx§4.1正态分布的概率密度与分布函数5.01x)(xFo概率论与数理统计标准正态分布的概率密度：,eπ21)(22xx;x标准正态分布的分布函数：.eπ21)(22dtxΦxt§4.1正态分布的概率密度与分布函数)(x的性质：;5.0)0(;1)().(1)(xx概率论与数理统计例1.设X服从标准正态分布,)1,0(N求);96.1()1(XP).5.26.1()2(XP解：)96.1(XP)96.1(;975.0)5.26.1(XP)6.1()5.2()]6.1(1[)5.2()6.1(1)5.2(9452.019938.0.9390.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数)1()2(概率论与数理统计定理.,),(~2NX设)(21xXxP).()(12xx证：)(21xXxPdxxxx21222)(e21则§4.1正态分布的概率密度与分布函数dtxxt2122eπ21dtxt222eπ21dtxt122eπ21).()(12xxσμxt正态分布的概率计算概率论与数理统计例2.设随机变量X服从正态分布,)2,1(2N求概率).4.26.1(XP解：)4.26.1(XP)216.1()214.2()3.1()7.0()]3.1(1[)7.0()9032.01(7580.0.2166.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数概率论与数理统计例3.设随机变量X服从正态分布,),(2N在区间),(kk内的概率，这里.,3,2,1k解：)(kXP)(kXkP)()(kk)()(kk)](1[)(kk,1)(2k.,3,2,1k§4.1正态分布的概率密度与分布函数求X落概率论与数理统计查附表2得)(XP1)1(2,6826.0)2(XP1)2(2,9544.0)3(XP1)3(2.9973.0说明：若,),(~2NX则)3(XP)3(1XP9973.010027.0.003.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数概率论与数理统计由此可知X落在)3,3(之外的概率小于3‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间这一原理叫做“三倍标准差原理”).3(法则或§4.1正态分布的概率密度与分布函数可能的取值)3,3(看作是随机变量X的实际区间.概率论与数理统计例4.设随机变量X服从标准正态分布,)1,0(N机变量函数2XY的概率密度.解：已知随机变量X的概率密度)(xfX,eπ2122x.x先求随机变量Y的分布函数：)(yFY)(yYP).(2yXP当0y时，;0)(yFY§4.1正态分布的概率密度与分布函数求随概率论与数理统计当0y时，)(yFY)(yXyPdxyyx22eπ21所以，Y的分布函数为.0,0;0,eπ22022yydxyx)(yFY§4.1正态分布的概率密度与分布函数yxyoyy概率论与数理统计.0,0;0,eπ21221yyyy)(yfY所得的分布称为自由度为1的2分布.§4.1正态分布的概率密度与分布函数求导得到的概率密度Y概率论与数理统计1.正态分布),(2N的概率密度：,eπ21)(222)(xxf.x2.标准正态分布)1,0(N的概率密度与分布函数：)(x,eπ2122x.x§4.1正态分布的概率密度与分布函数小结.eπ21)(22dtxΦxt概率论与数理统计3.标准正态分布分布函数的性质：).(1)(xx4.利用)(x求正态变量落在某区间内的概率：则若),,(~2NX)(21xXxP).()(12xx§4.1正态分布的概率密度与分布函数概率论与数理统计思考题测量到某一目标的距离时发生的随机误差)(mX具有概率密度,eπ2401)(3200)20(2xxfm30的概率.解：正态分布,)40,20(2N于是§4.1正态分布的概率密度与分布函数求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过按题意，每次测量时发生的随机误差)(mX服从1.概率论与数理统计)30(XP)3030(XP)402030()402030()25.1()25.0()8944.01(5987.0.4931.0所以，在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过m30的概率3)4931.01(1p.8698.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数)]25.1(1[)25.0(概率论与数理统计已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布,)6.0,100(2N规定直径在(mm)2.1100内为合格品.求这种机械零件的不合格品率.解：设随机变量X表示这种机械零件的直径,(mm)则,)6.0,100(~2NX按题意，不合格品率为§4.1正态分布的概率密度与分布函数)2.1100(XP)2.1100(1XP)26.0100(1XP)26.01002(1XP)]2()2([1)]9772.01(9772.0[10456.0%.56.42.概率论与数理统计3.若随机变量,),2(~2NX且,3.0)42(XP则.______)0(XP解：已知,),2(~2NX则有)22()24()42(XP)0()2(5.0)2(3.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数)22()0(XPXP)2()2(1.2.08.01由此可得,8.0)2(答：应填0.2.从而概率论与数理统计定理1.设随机变量X服从正态分布,),(2N则,)(XE.)(2XD证：dxxXEx222)(eπ21)(txdttt22e)(π21dtt22eπ2.eπ222dttt§4.2正态分布的数字特征因为,π2e2dtt2,0e2dttt2所以.)(XE§2正态分布的数字特征概率论与数理统计§4.2正态分布的数字特征dxxXDx222)(e)(π21)(2.eπ2222dttt2利用分部积分法计算积分dttt22e222ettdtt22e,π2所以，,)(2XD.)(Xtx概率论与数理统计§4.2正态分布的数字特征参数是该分布的标准差.正态分布的概率密度完全由数学期望和方差决定.正态分布的参数是该分布的数学期望,另一个概率论与数理统计定理2.设随机变量X服从正态分布，则k阶中心矩,!)!1(,0)(kkkX;,5,3,1k.,6,4,2k证：)(Xkdxxxk222)(e)(π21.eπ22dtttkk2tx§4.2正态分布的数字特征当k是奇数时，,0)(Xk;,5,3,1k概率论与数理统计)(Xk,eπ2202dtttkk2ut22duuukkk0212eπ2§4.2正态分布的数字特征)21(π22kkk,!)!1(kk.,6,4,2k是偶数时，当k概率论与数理统计例1.,)1,0(~NX设2XY求的数学期望与方差.解：.1)(XD,0)(XE所以，)()(2XEYE2)]([)(XEXD.1012§4.2正态分布的数字特征)(2YEdyyyy221eπ2102.eπ210223dyyy概率论与数理统计置换积分变量,2ty,2ty得)(2YEdttteπ4023§4.2正态分布的数字特征)25(π4)21(2123π4π2123π4,3于是22)]([)()(YEYEYD.2132概率论与数理统计则若,),(~2NX,)(XE,)(2XD.)(X§4.2正态分布的数字特征小结概率论与数理统计思考题已知连续随机变量X的概率密度为.),12exp(π1)(2xxxxf则X的数学期望为,_____方差为.______解：X的概率密度可以写为])21(2)1(exp[21π21)(22xxf§4.2正态分布的数字特征由此可知，.)21,1(~NX于是有，.21)(,1)(XDXE1.概率论与数理统计设随机变量,),0(~2NX求随机变量函数XY的概率密度、数学期望与方差.解：已知,),0(~2NX则X的概率密度为)()(yYPyFY),(yXP§4.2正态分布的数字特征当0y时，显然有;0)(yFY的分布函数为Y2.,,eσπ21)(22σ2xxfxX概率论与数理统计当0y时，有)()(yXyPyFYdxyyx222eπ21.eπ210222dxyx所以，Y的分布函数为)(yFY.0,0;0,eπ210222yydxyx§4.2正态分布的数字特征概率论与数理统计对y求导数，即得Y的概率密度)(yfY.0,0;0,eπ21222yyy注意到)(yFY在0y处不可导，不妨定义.0)0(YfY下面求的数学期望和方差：dyyYEy2220eπ21)(dyyy2220eπ21.π2π212§4.2正态分布的数字特征02222e)(π21y概率论与数理统计dyyYEy222022eπ21)(dyyy22202eπ21又置换积分变量,222ty