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习题课2平衡条件的应用[学习目标]1．通过实例巩固处理静态平衡的常用方法．2.通过解析法和图解法，掌握如何分析动态平衡问题．3.掌握解决临界问题和极值问题的方法．静态平衡1．静态平衡的定义静态平衡是指物体在共点力的作用下保持静止状态时的平衡．2．静态平衡的理解(1)运动学特征：处于静态平衡的物体速度为零．(2)平衡条件：处于静态平衡的物体所受的合力为零．(3)实例：日常生活中，三角形支架以其优越的平衡稳定性被广泛采用．如：大型展览馆、体育馆屋顶的钢架结构，马路边的路灯支架，建筑工地的塔吊支架等静态平衡装置大多采用三角形结构．【例1】沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点，如图所示，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力．思路点拨：①球处于静止状态，所受合外力为零．②选取球为研究对象可采用合成法、分解法、正交分解法求解．[解析]方法一：用合成法取足球和网兜作为研究对象，它们受重力G＝mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡．由共点力平衡的条件可知，N和T的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，作平行四边形如图所示．由三角形知识得：N＝Ftanα＝mgtanα，T＝Fcosα＝mgcosα.方法二：用分解法取足球和网兜作为研究对象，其受重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，将重力分解为F′1和F′2由共点力平衡条件可知，N与F′1的合力必为零，T与F′2的合力也必为零，所以N＝F′1＝mgtanα，T＝F′2＝mgcosα.方法三：用正交分解法求解取足球和网兜作为研究对象，受三个力作用，重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进行分解．由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即Fx合＝N－Tsinα＝0①Fy合＝Tcosα－G＝0②由②式解得：T＝Gcosα＝mgcosα代入①式得：N＝Tsinα＝mgtanα.[答案]mgcosαmgtanα解决静态平衡问题的方法及步骤(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、相似三角形法、正交分解法等．(2)应用平衡条件解题的步骤①明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)；②对研究对象进行受力分析；③建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程；④求解方程，并讨论结果．1．如图所示，质量为m的物块在水平推力作用下，静止在倾角为θ的光滑斜面上，则物块对斜面的压力为()A．mgcosθB．mgsinθC．mgcosθD．mgsinθC[分析物块受力，建立如图所示的直角坐标系．物块静止，则y轴方向上有Ny＝Ncosθ＝mg，则N＝mgcosθ.故C正确．]2．如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机．三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为()A．13mgB．23mgC．36mgD.239mgD[对物体进行受力分析，竖直方向受力平衡，3Fcos30°＝mg，故F＝mg3cos30°＝233mg＝239mg.所以支架承受的压力F′＝F＝239mg.故选项D正确．]动态平衡1．动态平衡的定义动态平衡是指物体在共点力的作用下保持匀速直线运动状态，或者通过控制某些物理量，使物体的运动状态缓慢地发生变化，而这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．2．平衡条件物体所受共点力的合力为零．3．解题思路把“动”化为“静”，从“静”中求“动”．【例2】如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对木板的压力为N2.在将木板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是()A．N1和N2都增大B．N1和N2都减小C．N1增大，N2减小D．N1减小，N2增大思路点拨：选取球为研究对象⇨对球进行受力分析，作出受力的矢量三角形⇨根据有向线段的长度变化判断力的变化B[球受到重力G、墙AC对球的弹力N1′和板BC对球的支持力N2′，如图甲所示．甲乙在将板BC逐渐放至水平的过程中，球始终处于平衡状态，G、N1′、N2′经过平衡可构成一系列封闭的矢量三角形，如图乙所示，由图乙可以看出，N1′、N2′都逐渐减小．由力的相互作用可知，N1＝N1′，N2＝N2′，所以N1、N2都逐渐减小．故选项B正确．]动态平衡及其分析方法(1)物体的动态平衡是指物体在运动中的平衡，通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态．(2)动态平衡问题的两种分析方法①解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定因变量的变化．②图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的变化情况．3．如图所示，人向右运动的过程中，物体A缓慢地上升．若人对地面的压力为F、人受到的摩擦力为f、人拉绳的力为T，则()A．F、f、T均增大B．F、f增大，T不变C．F、f、T均减小D．F增大，f减小，T不变B[设人和物体A的质量分别为m、mA.物体A缓慢上升，即物体A在任何位置都可以认为是处于静止状态，故绳的张力为mAg，人拉绳的力T与绳中张力大小相等，故人拉绳的力T＝mAg不变．对人进行受力分析，并建立直角坐标系，如图所示，人始终处于平衡状态，可得f－T′cosθ＝0，N＋T′sinθ＝mg，由力的相互性知N＝F，T′＝T，所以F＝mg－mAgsinθ，f＝mAgcosθ，显然，F、f是关于自变量θ的函数，当自变量θ减小时，F、f均增大，故B正确．]4.如图所示，一定质量的物块用两根轻绳悬在空中，其中绳OA固定不动，绳OB在竖直平面内由水平方向向上转动，则在绳OB由水平转至竖直的过程中，绳OB的张力大小将()A．一直变大B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大D[根据重力的作用效果将其分解在绳OA、OB所在的方向上，如图所示，F1是对绳OA的拉力，方向不变，F2是对绳OB的拉力．由于OA方向不变，当OB向上转动，即F2逆时针转动时，由图可知，F2先变小后变大，故D正确．]平衡问题中的临界和极值问题1．临界问题临界状态是指某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或物理状态)的过程中的转折状态．可理解为“恰好出现”某种物理现象，也可理解为“恰好不出现”某种物理现象，涉及临界状态的问题叫作临界问题．2．极值问题极值是指描述物体的物理量在变化过程中出现的最大值或最小值．涉及极值的问题叫作极值问题．3．解决临界问题和极值问题的方法一种是物理分析法，通过对物理过程的分析，抓住临界(或极值)条件进行求解．例如，两物体脱离的临界条件是两物体间的弹力为零．另一种是数学法，通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系(或作出函数图象)，用数学知识(例如求二次函数的极值、讨论公式极值、三角函数极值等)求解．【例3】如图所示，小球的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC绳水平，AB绳与AC绳成θ＝60°角，在小球上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，g＝10m/s2.若要使绳都能拉直，求拉力F的大小范围．[解析]小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用处于平衡状态，如图所示．由Fx合＝0Fy合＝0，有Fcos60°＝FC＋FBcos60°FBsin60°＋Fsin60°＝mg要两绳伸直则应满足FB≥0，FC≥0FB≥0时，F≤mgsin60°＝4033NFC≥0时，F≥mg2sin60°＝2033N综上所述，F的大小范围为2033N≤F≤4033N.[答案]2033N≤F≤4033N5.如图所示，重50N的物体A放在倾角为37°的粗糙斜面上，有一根原长为10cm，劲度系数为800N/m的弹簧，其一端固定在斜面顶端，另一端连接物体A后，弹簧长度为14cm.现用一测力计沿斜面向下拉物体A，若物体A与斜面间的最大静摩擦力为20N，当弹簧的长度仍为14cm时，测力计的读数不可能为()A．10NB．20NC．30ND．0C[物体A在斜面上处于静止状态时合外力为零，物体A在斜面上受五个力的作用，分别为重力、支持力、弹簧弹力、摩擦力、拉力F.当摩擦力的方向沿斜面向上时，F＋mgsin37°≤fmax＋k(14cm－10cm)，解得F≤22N．当摩擦力沿斜面向下时，F最小值为零，即拉力的取值范围为0≤F≤22N．故选项C正确．]6．如图所示，三根相同的轻杆用铰链连接，并用铰链固定在位于同一水平线上的A、B两点，A、B间的距离是杆长的2倍，铰链C上悬挂一质量为m的重物，为使杆CD保持水平，在铰链D上应施加的最小力是多大？[解析]对于节点C，受力情况如图甲所示．甲乙根据平衡条件可得FCD＝33mg根据力的相互性可知FDC＝FCD＝33mg对于节点D，受力情况如图乙所示．由极限分析法可得，拉力的方向与BD垂直斜向下时拉力最小，在铰链D上应施加的最小力F＝FDCcos30°＝12mg.[答案]12mg1．一氢气球下系一小重物G，重物只在重力和绳的拉力作用下做匀速直线运动，不计空气阻力和风力影响，而重物运动的方向如各图中箭头所示，则下列图中气球和重物G在运动中所处的位置可能的是()ABCDA[重物G受到重力和绳的拉力的共同作用，由力的平衡可知，二力必定反向，所以悬线是竖直的．]2.如图所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后()A．F1不变，F2变大B．F1不变，F2变小C．F1变大，F2变大D．F1变小，F2变小A[如果维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持两轻绳等长且悬挂点不变，根据物体的平衡条件可知，木板静止时，木板受到的合外力始终为零，因此木板所受合力的大小F1始终不变，由力的平行四边形定则可知，当两绳的合力大小不变，在剪短轻绳后，由于悬点不变，使两绳之间的夹角变大，而合力不变，所以两绳上的分力F2变大，由此可知A正确．]3．如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态．为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是()A．90°B．45°C．15°D．0°C[当力F的方向与轻绳的方向垂直时，力F有最小值，即当力F与竖直方向的夹角θ为15°时，力F有最小值，故C选项正确．]4.如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求：(1)地面对三棱柱支持力的大小；(2)地面对三棱柱摩擦力的大小．[解析](1)选取A和B整体为研究对象，它受到重力(M＋m)g、地面的支持力N、墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用(如图甲所示)而处于平衡状态．根据平衡条件有N－(M＋m)g＝0，F＝f可得：N＝(M＋m)g.甲乙(2)再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力NB，墙壁对它的弹力F的作用(如图乙所示)，而处于平衡状态．根据平衡条件：NBcosθ＝mg，NBsinθ＝F解得F＝mgtanθ，所以f＝F＝mgtanθ.[答案](1)(M＋m)g(2)mgtanθ