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第十四章整式的乘法与因式分解专题14.3.1提公因式法一、单选题（共10小题)1．（2018·福建省永春第二中学初二期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为()A．15B．30C．60D．78【答案】D【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．故选：D．【名师点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．2．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果()A．8（7a-8b）（a-b）B．2（7a-8b）2C．8（7a-8b）（b-a）D．-2（7a-8b）【答案】C【解析】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选：C.3．已知a+b=,ab=2,则3a2b+3ab2的值为（）基础篇A.B.C.6+D.2+【答案】A【解析】根据题意先因式分解（提公因式）可得3a2b+3ab2=3ab（a+b），整体代入可得原式=3×2×=6.故选：A.4．（2018·张家港市梁丰初级中学初一期中）若分解因式2x2＋mx＋15＝(x－5)(2x－3)，则（）A．m＝－7B．m＝7C．m＝－13D．m＝13【答案】C【解析】∵(x－5)(2x－3)=2x2﹣13x+15，∴m=﹣13．故选C．5．如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy（x2-y2+xy），那么M等于()A．4xy3+4x2y2B．4xy3-4x2y2C．-4xy3+4x2y2D．-4xy3-4x2y2【答案】B【详解】解：∵4xy（x2-y2+xy）=4x3y-4xy3+4x2y2=4x3y-(4xy3-4x2y2）=4x3y-M，∴M=4xy3-4x2y2．故选：B．【名师点睛】本题考查了因式分解--提公因式法．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．6．（2018·广东深圳中学初二期中）把多项式(m+1)(m﹣1)+(m+1)提取公因式m+1后，余下的部分是()A．m+1B．m﹣1C．mD．2m+1【答案】C【详解】（m+1）（m﹣1）+（m+1）＝（m+1）（m﹣1+1）＝m（m+1），故选C．【名师点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．7．若x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为()A．1B．C．D．6【答案】C【详解】解：(x-2)(x+3)=x2+x-6，∵x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，∴m=1，n=-6，∴mn=1×(-6)=-6，故选：C．【名师点睛】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解的定义，能熟练地运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．8．已知多项式3x²-mx+n分解因是的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（）A．m=1，n=－2B．m=-1，n=－2C．m=2，n=－2D．m=－2，n=－2【答案】A【解析】∵(3x+2)(x-1)=3x2-x-2,∴m=1,n=-2故选A.9．（2018·北京北师大实验中学初二期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】C【详解】A.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C.是因式分解，故本选项正确；D.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选:C.【名师点睛】考查因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.10．下列各式变形中，是因式分解的是（）A.a2﹣2ab+b2﹣1=（a﹣b）2﹣1B.x4﹣1=（x2+1）（x+1）（x﹣1）C.（x+2）（x﹣2）=x2﹣4D.2x2+2x=2x2（1+）【答案】B【详解】A选项：它的结果不是乘积的形式，不是因式分解，故是错误的；B选项：x4﹣1=（x2+1）（x+1）（x﹣1）结果是乘积形式，是因式分解，故是正确的；C选项：（x+2）（x﹣2）=x2﹣4中结果不是乘积的形式，不是因式分解，故是错误的；D选项：2x2+2x=2x2（1+）结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，故是错误的；故选:B.【名师点睛】考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义（把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式）是解题的关键。二、填空题（共5小题)1．若,那么=________.【答案】0【详解】∵a2+a+1=0，∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．故答案为：0．【名师点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．若x2+mx-n能分解成（x-1）（x+4），则m=______，n=______．【答案】34【详解】解：由题意得：x2＋mx－n＝（x－1）（x＋4）＝x2＋3x－4，则m＝3，n＝4，故答案为：3；4．【名师点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．提升篇13．（2019·内蒙古中考真题）因式分解：__________．【答案】【详解】解：原式，故答案为：【名师点睛】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.14．（2019·隆昌市知行中学初二期末）因式分解：______.【答案】（x+y）（x-y）．【详解】原式=（x+y）（x+y-2y）=（x+y）（x-y）．故答案为（x+y）（x-y）．【名师点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．（2018·北京市第一六一中学初二期中）若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为__．【答案】-1【解析】∵，∴，∴.故答案为：.三、解答题（共3小题)16．请把下列各式分解因式（1）x(x-y)-y(y-x)（2）-12x3+12x2y-3xy2（3）(x+y)2+mx+my（4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)（5）15×（a-b）2-3y（b-a）（6）（a-3）2-（2a-6）（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）【答案】（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）【解析】试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；（6）运用提取公因式法因式分解即可；（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）17．试说明817-279-913必能被45整除.【答案】证明见解析.【解析】817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326（32-3-1）=326×5=324×45∴817-279-913能被45整除。18.已知△ABC的三边长a，b，c，满足a²-bc-ab+ac=0，求证：△ABC为等腰三角形．【答案】证明见解析.【解析】证明：∵a2-bc-ab+ac=0∴(a-b)(a+c)=0∵a,b为△ABC三边∴a+c＞0，则a-b=0,即a=b∴△ABC为等腰三角形