通信电子线路 非线性电路分析基础

2.2非线性电路分析基础现代通信及各种电子设备中，广泛采用了频率变换电路和功率变换电路，如调制、解调、变频、倍频、振荡、谐振功放等，还可以利用电路的非线性特性实现系统的反馈控制，如自动增益控制(AGC)、自动频率控制(AFC)、自动相位控制(APC)等。本节主要分析非线性电路的特性、作用及其与线性电路的区别，非线性电路的几种分析方法。对实现频率变换的基本组件模拟乘法器的特性、实现方法及应用作了较详尽的分析。2.2.1非线性电路的基本概念与非线性元件常用的无线电元件有三类：线性元件、非线性元件和时变参量元件。线性元件的主要特点是元件参数与通过元件的电流或施于其上的电压无关。例如，通常大量应用的电阻、电容和空心电感都是线性元件。一、非线性电路的基本概念非线性元件的参数与通过它的电流或施于其上的电压有关。例如，通过二极管的电流大小不同，二极管的内阻值便不同；晶体管的放大系数与工作点有关；带磁芯的电感线圈的电感量随通过线圈的电流而变化。时变参量元件与线性和非线性元件有所不同，它的参数不是恒定的而是按照一定规律随时间变化的，但是这样变化与通过元件的电流或元件上的电压没有关系。可以认为时变参量元件是参数按照某一方式随时间变化的线性元件。例如，混频时，可以把晶体管看成一个变跨导的线性参变元件。常用电路是若干无源元件或(和)有源元件的有序联结体。它可以分为线性与非线性两大类。所谓线性电路是由线性元件构成的电路。它的输出输入关系用线性代数方程或线性微分方程表示。线性电路的主要特征是具有叠加性和均匀性。若vi1(t)和vi2(t)分别代表两个输入信号，vo1(t)和vo2(t)分别代表相应的输出信号，即vo1(t)=f[vi1(t)]，vo2(t)=f[vi2(t)]，这里f表示函数关系。若满足avo1(t)=f[vi1(t)+vi2(t)]，则称为具有叠加性。若满足avo1(t)=f[avi1(t)]，avo2(t)=f[avi2(t)]，则称为具有均匀性，这里a是常数。若同时具有叠加性和均匀性，即a1*f[vi1(t)]+a2*f[vi2(t)]=f[a1*vi1(t)+a2*vi2(t)]，则称函数关系f所描述的系统为线性系统。非线性电路中至少包含一个非线性元件，它的输出输入关系用非线性函数方程或非线性微分方程表示例如，图2-2-1所示是一个线性电阻与二极管组成的非线性电路。iv0V0+–iDZLv图2-2-1二极管电路及其伏安特性图2-2-1中，二极管是非线性器件，ZL为负载，v与所加信号，幅度不大。设非线性元件的函数关系为i=f(v)，若工作点选在vo处，则电流i与输入电压v的关系为i=a0+a1(v–vo)+a2(v–vo)2+a3(v–vo)3+……，这是一个非线性函数方程。非线性电路不具有叠加性与均匀性。这是它与线性电路的重要区别。由于非线性电路的输出输入关系是非线性函数关系，当信号通过非线性电路后，在输出信号中将会产生输入信号所没有的频率成分，也可能不再出现输入信号中的某些频率成分。这是非线性电路的重要特性。二、非线性元器件的特性一个器件究竟是线性还是非线性是相对的。线性和非线性的划分，很大程度上决定于器件静态工作点及动态工作范围。当器件在某一特定条件下工作，若其响应中的非线性效应小到可以忽略的程度时，则可认为此器件是线性的。但是，当动态范围变大，以至非线性效应占据主导地位时，此器件就应视为非线性的。例如，当输入信号为小信号时，晶体管可以看成是线性器件，因而允许用线性四端网络等效之，用一般线性系统分析方法分析其性能；但是，当输入信号逐渐增大，以至于使其动态工作点延伸至饱和区或截止区时，晶体管就表现出与其在小信号状态下极不相同的性质，这时就应把晶体管看作非线性器件。广义地说，器件的非线性是绝对的，而其线性是相对的。线性状态只是非线性状态的一种近似或一种特例而已。非线性器件种类很多，归纳起来，可分为非线性电阻(NR)、非线性电容(NC)和非线性电感(NL)三类。如隧道二极管、变容二极管及铁芯线圈等。本小节以非线性电阻为例，讨论非线性元件的特性。其特点是：工作特性的非线性、不满足叠加原理，具有频率变换能力。所得结论也适用于其他非线性元件。1.非线性元件的工作特性线性元件的工作特性符合直线性关系，例如，线性电阻的特性符合欧姆定律，即它的伏安特性是一条直线，如图2-2-2所示。iOv图2-2-2线性电阻的伏安特性曲线与线性电阻不同，非线性电阻的伏安特性曲线不是直线。例如，半导体二极管是一非线性电阻元件，加在其上的电压v与通过其中的电流i不成正比关系(即不满足欧姆定律)。它的伏安特性曲线如图2-2-3所示，其正向工作特性按指数规律变化，反向工作特性与横轴非常近。iv图2-2-3半导体二极管的伏安特性曲线在实际应用中的非线性电阻元件除上面所举的半导体二极管外，还有许多别的器件，如晶体管、场效应管等。在一定的工作范围内，它们均属于非线性电阻元件。2.非线性元件的频率变换作用如图2-2-4所示半导体二极管的伏安特性曲线。当某一频率的正弦电压作用于该二极管时，根据v(t)的波形和二极管的伏安特性曲线，即可用作图的方法求出通过二极管的电流i(t)的波形，如图2-2-4所示。ii(a)tOOOvvt(c)(b)图2-2-4正弦电压作用于半导体二极管产生非正弦周期电流显然，它已不是正弦波形(但它仍然是一个周期性函数)。所以非线性元件上的电压和电流的波形是不相同的。v=Vmsint(2-2-1)如果将电流i(t)用傅里叶级数展开，可以发现，它的频谱中除包含电压v(t)的频率成分(即基波)外，还新产生了的各次谐波及直流成分。也就是说，半导体二极管具有频率变换的能力。若设非线性电阻的伏安特性曲线具有抛物线形状，即i=Kv^2(2-2-2)式中，K为常数。当该元件上加有两个正弦电压v1=V2msint和v2=V2msin2t时，即v=v1+v2=V1msin1t+V2msin2t(2-2-3)将式(2-2-3)代入式(2-2-2)，即可求出通过元件的电流为ttVKVtKVtKV21m2m1222m2122m1sinsin2sinsinitVKVtVKVVVK)cos()cos()(221m2m121m2m12m22m1itVKtVK22m212m12cos22cos2(2-2-4)(2-2-5)用三角恒等式将上式展开并整理，得上式说明，电流中不仅出现了输入电压频率的二次谐波21和22，而且还出现了由1和2组成的和频(1+2)与差频(1–2)以及直流成()。这些都是输入电压V中所没包含的。2K2m22m1VV一般来说，非线性元件的输出信号比输入信号具有更为丰富的频率成分。在通信、广播电路中，正是利用非线性元件的这种频率变换作用来实现调制、解调、混频等功能的。3.非线性电路不满足叠加原理对于非线性电路来说，叠加原理不再适用了。例如，将式v=v1+v2=V1msin1t+V2msin2t作用于式i=Kv^2所表示的非线性元件时，得到如式(2-2-4)所表征的电流。如果根据叠加原理，电流i应该是v1和v2分别单独作用时所产生的电流之和，即2221vviKKtKVtKV222m2122m1sinsin(2-2-6)ttVKVtKVtKV21m2m1222m2122m1sinsin2sinsini(2-2-4)比较式(2-2-4)与式(2-2-6)，显然是很不相同的。这个简单的例子说明，非线性电路不能应用叠加原理。这是一个很重要的概念。§2.2.2非线性电路的分析方法与线性电路相比，非线性电路的分析与计算要复杂得多。在线性电路中，由于信号幅度小，各元器件的参数均为常量，所以可用等效电路法借助于公式较精确地将电路指标算出来。而在非线性电路中，信号的幅度较大，元器件呈非线性状态，在整个信号的动态范围内，这些元器件的参数不再是常数而是变量了，因此就无法再用简单的公式来做计算.在分析非线性电路时，常常要用到幂级数分析法、指数函数分析法、折线分析法、时变参量分析法、开关函数分析法等，下面将对这些分析方法分别作一介绍。一、幂级数分析法各种非线性元件非线性特性的数学表示式有着不同形式，例如晶体管特性是指数函数，场效应管特性是二次函数等等。把输入信号直接代入非线性特性的数学表示式中，就可求得输出信号。下面以图2-2-5为例，对幂级数分析法作一介绍。图中，二极管是非线性器件，ZL为负载，v为所加小信号电压源。+–iDZLv图2-2-5二极管电路设非线性元件的函数关系为i=f(v)(2-2-7)如果该函数f(v)的各阶导数存在，则这个函数可以展开成幂级数表达式，即(2-2-8)该级数的各系数与函数i=f(v)的各阶导数有关。若函数i=f(v)在静态工作点Vo附近的各阶导数都存在，也可在静态工作点Vo附近展开为幂级数。.....332210vavavaai这样得到的幂级数即泰勒级数。3oo2ooooo)(!3)()(!2)())(()()(VVfVVfVfVffvvvvvi(2-2-9)3o32o210)()()(VVVovavavaa由数学分析可知，上述幂级数展开式是一收敛函数，幂次愈高的项其系数就愈小，这一特点为近似分析带来了依据。幂级数到底应该取多少项，应由近似条件来决定。如果要求近似的准确性愈高，或要求近似表达式的曲线范围愈宽，则所取的次数就越多。为分析简单，式(2-2-9)中只取前四项，即(2-2-10)3o32o2o10)()()(VVVvavavaaitVtVV2211ocoscosv若外加两个频率的信号电压代入式取前四项，得3o32o2o10)()()(VVVvavavaaittVVtVtVtVVVVtVVVVVV)cos()cos()2cos2cos(21cos)2343(cos)2343(2121212112222212122321332321132213313112222120aaaaaaaaaaai)3cos3cos(412321313tVtVa221343VVa221343VVatt)2cos()2cos(2121tt)2cos()2cos(2121根据以上分析，可得出如下几点结论：(1)由于元器件的非线性作用，输出电流中产生了输入电压中不曾有的新频率成分，如输入频率的谐波21和22、31和22；输入频率及其谐波所形成的各种组合频率1+2、1–2、1+22、1–22、21+2、21–2。(2)各倍频分量和各组合频率分量的振幅与幂级数展开式中同次幂项的系数有关，例如，21、22、1+2、1–2等分量的振幅与a2有关，而31、32、21+2、21–2、1+22、1–22等分量的振幅与a3有关，即高次谐波项的振幅与高次幂项的系数a有关。(3)电流中的直流分量与输入信号的振幅平方成正比，偶次谐波以及系数之和(p+q)为偶数的各种组合频率成分，其振幅均只与幂级数的偶次项系数(包括常数项)有关，而与奇次项系数无关；类似地，奇次谐波以及系数之和为奇数的各种组合频率成分，其振幅均只与非线性特性表方式中的奇次项系数有关，而与偶次项系数无关。(4)一般情况下，设幂多项式最高次数等于n，则电流中最高谐波次数都不超过n；若组合频率表示为p1+q2和p1–q2，则有p+q≤n。(5)因为幂级数展开式中含有两个信号的相乘项，起到乘法器的作用，因此，所有组合频率分量都是成对出现的，如有1+2就一定有1–2，有21–2，就一定有21+2，等等。最后需要指出，实际工作中非线性元件总是要与一定性能的线性网络相互配合起来使用的。非线性元件的主要作用在于进行频率变换，线性网络的主要作用在于选频或者说滤波。为了