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文献综述前言：凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的研究领域中占有十分重要的地位。到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究。对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用。凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用。因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要。同时，凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及。所以，总结一些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的。正文：提起凸函数，人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。的确，凸函数是一个十分重要的数学概念，它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。60年代中期诞生的一门新的数学分科——凸分析，就是以凸集和凸函数为基本研究对象的，现已成为数学规划论、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的重要理论基础和有力工具。陈纪修[1]在《数学分析》一书中详细说明了函数的凸性，给出了凸函数与不等式有关的一个定义，并在该书中详细证明了凸函数一些重要性质的，并给出了证明。陈传璋[2]在其所著的《数学分析》一书中给出了一些重要的不等式的证明过程，比如Jensen不等式的证明方法以及详细步骤，并利用Jensen不等式证明一些不等式的方法。吴善和[5]在发表的《几何凸函数与琴生不等式》一文中，详细的阐述了一些普通的不等式如何利用凸函数的几何性质进行证明，或者巧妙地构造辅助函数，再利用基本不等式进行证明的方法。这些方法可以解决一些初等数学无法解决的不等式问题，此时凸函数的意义以及性质显得十分重要。凸凹函数理论在应用上越来越重要，其在数学规划论、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等领域中起着重要的作用，并且有着无限的发展潜力和发展前景。凸分析的局限性也是很明显的，实际问题中的大量函数是非凸的，因此，各种广义凸函数的定义相继出现，特别是近年来，“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成为引人注目的热门课题，它们是凸分析的拓广和发展。结论:凸函数有其良好而独特的性质，由于凸函数理论的广泛性及其在数学各个领域都有广泛的应用，因此还应该对凸函数的理论作进一步的探讨。现在对凸函数的研究工作有：中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件，利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的一个判别准则，实值函数成为凸函数的一些条件等，对凸函数在不等式的应用研究将有助于我们进一步研究函数的凸性，因此要不断推进其研究工作。本选题先对凸函数的定义、性质作出较为详尽的介绍，然后利用相关性质证明一些不等式，而这些不等式的证明往往是以构造凸函数为突破，以此来研究什么类型的不等式，更适于用凸函数的性质证明。附录:[1]陈纪修,於崇华,金路.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2004.[2]陈传璋,金福林等.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1983.[3]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2009.[4]张晓宁.高等数学指导[M].北京：教育出版社,2005.[5]吴善和.几何凸函数与琴生不等式[J].数学的实践与认识,2004.[6]周科.凸函数等价性命题的证明[J].广西师范学院报,2000（3).[7]张彦明.算术几何平均不等式的推广[J].商洛师范专科学校学报,2004(4):14-16.[8]AvrielMr-Convex.FunctionsMathematicalProgramming[M].Amsterdam:North-HollandPublishingCompany,1972.