线性方程组的解PPT课件

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§1线性方程组的解一、线性方程组的表达式1.一般形式3.矩阵方程的形式方程组可简化为AX=b.2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx3415112112334151121xxx12334151121xxx二、线性方程组的解的判定设有n个未知数m个方程的线性方程组11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb定义:线性方程组如果有解,就称它是相容的;如果无解,就称它是不相容的.问题1:方程组是否有解?问题2:若方程组有解,则解是否唯一?问题3:若方程组有解且不唯一,则如何掌握解的全体?m、n不一定相等!定理:n元线性方程组Ax=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b);②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n.分析:只需证明条件的充分性,即•R(A)R(A,b)无解;•R(A)=R(A,b)=n唯一解;•R(A)=R(A,b)n无穷多解.那么无解R(A)R(A,b);唯一解R(A)=R(A,b)=n;无穷多解R(A)=R(A,b)n.证明:设R(A)=r,为叙述方便,不妨设B=(A,b)的行最简形矩阵为第一步:往证R(A)R(A,b)无解.若R(A)R(A,b),即R(A,b)=R(A)+1,则dr+1=1.于是第r+1行对应矛盾方程0=1,故原线性方程组无解.111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000nrnrrrnrrrmnbbdbbdbbdBdR(A)≤R(A,b)≤R(A)+1前r列后n-r列前n列前r列100010001000000000B12(1)000nmnddd第二步:往证R(A)=R(A,b)=n唯一解.若R(A)=R(A,b)=n,故原线性方程组有唯一解.后n-r列则dr+1=0且r=n,对应的线性方程组为1122,,.nnxdxdxdB从而bij都不出现.111,212,,1,000000nrnrrrnrbbbbbb121(1)00rrmndddd第三步:往证R(A)=R(A,b)n无穷多解.若R(A)=R(A,b)n,对应的线性方程组为前r列则dr+1=0.后n-r列即rn,111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000nrnrrrnrrrmnbbdbbdbbdBd11111,122112,211,,,.rnrnrnrnrrrrnrnrxbxbxdxbxbxdxbxbxdB11111,122112,211,,,.rnrnrnrnrrrrnrnrxbxbxdxbxbxdxbxbxd11111,122112,211,,,.rnrnrnrnrrrrnrnrxbxbxdxbxbxdxbxbxd令xr+1,…,xn作自由变量,则再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r,则11111,111,11nrnrrrrnrnrrrnnrxbcbcdxbcbcdxcxc111,11,1100010nrrrnrrnrbbdbbdcc线性方程组的通解例:求解非齐次线性方程组123412341234123422,24,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx21112101041121401103~46224000133697900000rB解:R(A)=R(A,b)=34,故原线性方程组有无穷多解.21112101041121401103~46224000133697900000rB解(续):即得与原方程组同解的方程组令x3做自由变量,则方程组的通解可表示为.132344,3,3.xxxxx132344,3,3.xxxxx123414131003xxcxx例:求解非齐次线性方程组123412341234231,3532,2223.xxxxxxxxxxxx123111231131532~054012122300002rB解:R(A)=2,R(A,b)=3,故原线性方程组无解.例:求解齐次线性方程组123412341234220,2220,430.xxxxxxxxxxxx提问:为什么只对系数矩阵A进行初等行变换变为行最简形矩阵?答:因为齐次线性方程组AX=0的常数项都等于零,于是必有R(A,0)=R(A),所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况.例:设有线性方程组问l取何值时,此方程组有(1)唯一解;(2)无解;(3)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.123123123(1)0,(1)3,(1).xxxxxxxxxllll定理:n元线性方程组AX=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b);②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n.11101113111Bllll解法1:对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵.11101113111llll13111~11131110rrllll2131(1)111~030(2)(1)rrrrlllllllllll32111~0300(3)(1)(3)rrlllllllll附注:对含参数的矩阵作初等变换时,由于l+1,l+3等因式可能等于零,故不宜进行下列的变换:如果作了这样的变换,则需对l+1=0(或l+3=0)的情况另作讨论.2111rrl2(1)rl3(3)rl11101111113~0311100(3)(1)(3)rBlllllllllllll分析:•讨论方程组的解的情况,就是讨论参数l取何值时,r2、r3是非零行.•在r2、r3中,有5处地方出现了l,要使这5个元素等于零,l=0,3,-3,1.•实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程组有唯一解入手.11101111113~0311100(3)(1)(3)rBlllllllllllll于是•当l≠0且l≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解.•当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解.•当l=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解.11101113111Bllll解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充分必要条件是|A|≠0.2111||111(3)111Alllll于是当l≠0且l≠-3时,方程组有唯一解.当l=0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解.111011101113~000111100000rB当l=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解,其通解为211010111213~011211230000rB123111210xxcx定理:n元线性方程组AX=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b);②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n.分析:因为对于AX=0必有R(A,0)=R(A),所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况.定理:n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是R(A)n.定理:线性方程组AX=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).定理:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).定理:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).证明:设A是m×n矩阵,B是m×l矩阵,X是n×l矩阵.把X和B按列分块,记作X=(x1,x2,…,xl),B=(b1,b2,…,bl)则即矩阵方程AX=B有解线性方程组Axi=bi有解R(A)=R(A,bi)12(,,,)nAXAxxx12(,,,)nAxAxAx12(,,,)nbbbB设R(A)=r,A的行最简形矩阵为,则有r个非零行,且的后m-r行全是零.再设从而.AAA1212(,)(,,,,)~(,,,,)rllABAbbbAbbb(,)~(,)riiAbAb矩阵方程AX=B有解线性方程组Axi=bi有解R(A)=R(A,bi)的后m-r个元素全是零的后m-r行全是零R(A)=R(A,B).ib12(,,,)lbbb定理:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).定理:设AB=C,则R(C)≤min{R(A),R(B)}.证明:因为AB=C,所以矩阵方程AX=C有解X=B,于是R(A)=R(A,C).R(C)≤R(A,C),故R(C)≤R(A).又(AB)T=CT,即BTAT=CT,所以矩阵方程BTX=CT有解X=AT,同理可得,R(C)≤R(B).综上所述,可知R(C)≤min{R(A),R(B)}.非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含n-R(A)个自由变量的通解()()RARB()RAn

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