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第2节参数方程最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程知识梳理一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.x＝f（t），y＝g（t），2.参数方程与普通方程的互化通过消去从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x，y的取值范围保持一致.参数3.常见曲线的参数方程和普通方程温馨提醒直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程y＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t的函数.()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量.()(3)方程x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.()诊断自测答案(1)√(2)√(3)√(4)×(4)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()解析消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.答案x－y－1＝02.在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________.解析由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2.①答案(2，－4)又x＝t2，y＝22t(t为参数)消去t，得y2＝8x.②联立①，②得x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4).3.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________.解析圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，圆心A(2，0)，半径r＝3.∵直线y＝b(x－4)与圆相切，∴|2b－4b－0|b2＋1＝3，则b2＝3，b＝±3.因此tanθ＝±3，切线的倾斜角为π3或23π.答案π3或2π34.直线y＝b(x－4)与圆x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________.5.在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2s2，y＝22s(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.得l的普通方程为x－2y＋8＝0，因为点P在曲线C上，设点P(2s2，22s).则点P到直线l的距离d＝|2s2－42s＋8|5＝2（s－2）2＋45，∴当s＝2时，d有最小值45＝455.解由x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)消去t.考点一参数方程与普通方程的互化【例1】已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.即实数a的取值范围是[－25，25].规律方法1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【训练1】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)代入x2＋y24＝1，得1＋12t2＋32t24＝1，即7t2＋16t＝0，解之得t1＝0，t2＝－167.所以|AB|＝|t1－t2|＝167.所以线段AB的长为167.解椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.考点二参数方程及应用【例2－1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.则C与l交点坐标是(3，0)和－2125，2425.解(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.曲线C的标准方程是x29＋y2＝1，联立方程x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.设曲线C上点P(3cosθ，sinθ).∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若a0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.则P到l距离d＝|3cosθ＋4sinθ－4－a|17＝|5sin（θ＋φ）－4－a|17，其中tanφ＝34.又点C到直线l距离的最大值为17.【例2－2】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝22t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值.消去参数t，得x＋y－1＝0.利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0.令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0).曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)，把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－32t＋1＝0，∴t1＋t2＝32，t1t2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1.解(1)直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝22t(t为参数)，规律方法1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是P0P→的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.【训练2】已知曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝t2，y＝2＋3t(t为参数).(1)写出直线l与曲线C的普通方程；(2)设曲线C经过伸缩变换x′＝x，y′＝12y得到曲线C′，过点F(3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.曲线C的普通方程为x2＋y2＝4.(2)由x′＝x，y′＝y2，得x＝x′，y＝2y′，代入曲线C，得x′2＋4y′2＝4，即x′24＋y′2＝1.则曲线C′的方程为x24＋y2＝1表示椭圆.由题设，直线AB的参数为x＝3＋t2，y＝32t(t为参数).将直线AB的参数方程代入曲线C′：x24＋y2＝1.得134t2＋3t－1＝0，解(1)直线l的普通方程23x－y＋2＝0.则t1·t2＝－413，∴|FA|·|FB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝413.考点三参数方程与极坐标方程的综合应用【例3－1】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为与C的交点，求M的极径.化为l1的普通方程y＝k(x－2)，①同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝2，联立x＋y＝2，x2－y2＝4得x＝322，y＝－22，∴ρ2＝x2＋y2＝184＋24＝5，∴与C的交点M的极径为5.解(1)由l1：x＝2＋t，y＝kt(t为参数)消去t，【例3－2】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝5cosα，y＝sinα(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ＋π4＝2.l与C交于A，B两点.(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设点P(0，－2)，求|PA|＋|PB|的值.所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.因为直线l的极坐标方程为ρcosθ＋π4＝2，即ρcosθ－ρsinθ＝2，(2)点P(0，－2)在l上，则l的参数方程为x＝22t，y＝－2＋22t(t为参数)，代入x25＋y2＝1整理得3t2－102t＋15＝0，由题意可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝1023.解(1)由曲线C：x＝5cosα，y＝sinα(α为参数)消去α，得普通方程x25＋y2＝1.规律方法1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【训练3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.又曲线C2：ρsinθ＋π4＝22.所以ρsinθ＋ρcosθ＝4.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.d(α)＝|3cosα