正弦定理

解三角形理论在天文观测、航海、地理测量中发挥了重要作用！-1-1671年，两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385400km，他们是怎么做到的呢？1、1正弦定理与余弦定理——正弦定理一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形0180ABC三角形的基本常识（角、边、角与边的关系）大边对大角，小变对小角两边之和大于第三边，两边之差小于第三边aa+bc,-bc,ab,AB解三角形ACBcba想一想?中在一个直角三角形ABCsinaAcAacsinsinbBcBbcsinsin1CCccsin问题(2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？CcBbAasinsinsin（1）你有何结论?一、正弦定理：猜想定理'',,,2,OCOBCBR作三角形的外接圆为圆心连结并延长交圆于设则.sinsinsinabcABC对任意锐角三角形都成立二、正弦定理：证明定理方法一'0'90,CABBB'sinsin2bBBRc2,2sinsinaRRCA同理可证：2sinbRB.sinsinsinabcABC思考：在钝角三角形中如何证明'090,ACB'0+180,BB'sin2bBR0sin-2bBR（180）sin2bBR二、正弦定理：证明定理方法一0sinsin-BB（180）当是锐角三角形时ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABCsin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE二、正弦定理：证明定理方法二ABC当是钝角三角形时BACbcaD二、正弦定理：证明定理方法二0sin-sin（180）=CDaBaBsinCDbAsinsin也得到abABjBACabc在锐角三角形中.的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与ABjCBjACj90C90A90由向量加法的三角形法则ABCBACABjCBjACjABjCBACjj得的数量积两边同取与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj定义）（根据向量的数量积的sinsinsinsinacaCcAAC即在锐角三角形中，可得垂直于点作过同理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin也有AjAC证明：过点作单位向量垂直于，二、正弦定理：证明定理方法三在钝角三角形中ABCj的夹角为与的夹角为与则垂直的单位向量作与过点设CBjABjjACAA,90090A90C具体证明过程自己完成二、正弦定理：证明定理方法三正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.2sinsinsinabcRABC（R为外接圆的半径）sinsinsinsinsinsinabbcacABBCAC；；sinsinabAB三、正弦定理：两边两边对角及一知三求一及一角四、正弦定理在解三角形中的应用已知两角和任一边求其它一角和两边三角形唯一，解唯一026,30,45,;ABCbABc例：在中，已知求AAS可证三角形全等000000000cbsins++=180=180--=105b26csin=sin+sin22=43sincoscossin3in26ABCCABCCBB解：由可得（4560）（4560+4560）=四、正弦定理在解三角形中的应用0=3=6C在ABC中，B45，c=2，b变：21，求式0=3=2C在ABC中，B45，c=2，b变：22，求式已知两边和其中一边的对角,求其他边和角此时可能有一解、两解、无解0=3=2C在ABC中，B135，c=4，b变：23，求式SSA不能证三角形全等000,04=305cbCC得0000=,451=635600bCcCC得或0,135,bcC无解ACababsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinAab两解BB1B2BACbaab一解00000b42.9,32.0,81.8;2b28,40;3b11,404b39,1155b39,115ABCcmABABCcmBABCcmBABCcmCABCcmB练习：判断下列三角形的解的个数1、在中，已知、在中，已知a=20cm,、在中，已知a=20cm,、在中，c=54cm,、在中，c=54cm,1个1个2个1个无解选两点别测夹间长在地球上A、B分量出与月球的角α、β，容易知道AB的距离，利用正弦定理就可以算出PA,PB的度啦!亲为测间学！掌握了正弦定理，你就可以成出地球与月球之距离的天文家!在解三角形中的两种应用——已知两角和一边（只有一解）已知两边和其中一边的对角（有一解，两解，无解）一个定理五、课堂小结：转化划归、方程、数形结合2sinsinsinabcRABC（R为外接圆的半径）三种数学思想8,60,75,20625.0342,acBAaAB测验：1、在ABC中，求；、在ABCb中,求,，六、课堂检测：1012作业：P页习题1.1中题，题THANKS