三角恒等变换-知识点+例题+练习

实用标准文档文案大全两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2实用标准文档文案大全－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为14的是()．A．2cos2π12－1B．1－2sin275°C.2tan22.5°1－tan222.5°D．sin15°cos15°2．(2011·福建)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()．3．已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()．4．(2011·辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()．5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.考向一三角函数式的化简【例1】►化简2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.[审题视点]切化弦，合理使用倍角公式．实用标准文档文案大全三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1sin2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．实用标准文档文案大全三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】已知α，β∈0，π2，sinα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．考向三三角函数的求角问题【例3】►已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．【训练3】已知α，β∈－π2，π2，且tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．实用标准文档文案大全考向四三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x.(1)求fπ3的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π2上的最大值和最小值．实用标准文档文案大全三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】►(2011·江苏)已知tanx＋π4＝2，则tanxtan2x的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】►(2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．实用标准文档文案大全▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】►(2011·温州一模)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cosφ，0＜φ＜π2，求cosφ的值．【课后训练】A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·江西)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ等于()实用标准文档文案大全A.15B.14C.13D.122．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α等于()A．－53B．－59C.59D.533．已知α，β都是锐角，若sinα＝55，sinβ＝1010，则α＋β等于()A.π4B.3π4C.π4和3π4D．－π4和－3π44．(2011·福建)若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于________．6.3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.7．sinα＝35，cosβ＝35，其中α，β∈0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分)8．(10分)已知1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα＝－2tanα，试确定使等式成立的α的取值集合．实用标准文档文案大全9．(12分)已知α∈π2，π，且sinα2＋cosα2＝62.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cosβ的值．＝－32×45＋12×－35＝－43＋310.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·山东)若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ等于实用标准文档文案大全()A.35B.45C.74D.342．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.322D.163．当－π2≤x≤π2时，函数f(x)＝sinx＋3cosx的()A．最大值是1，最小值是－1B．最大值是1，最小值是－12C．最大值是2，最小值是－2D．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos2α＝cosπ4－α，则sin2α＝_______.5．已知cosπ4－α＝1213，α∈0，π4，则cos2αsinπ4＋α＝_________.6．设x∈0，π2，则函数y＝2sin2x＋1sin2x的最小值为________．三、解答题7．(13分)(2012·广东)已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π实用标准文档文案大全＝1617，求cos(α＋β)的值．