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课时作业3四种命题间的相互关系知识点一四种命题的真假关系1.一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中()A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确答案B解析原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同，因此真命题个数可能为0个，2个，4个．2．原命题为“若an＋an＋12an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假答案A解析an＋an＋12an，即an＋an＋12an，则an＋1an，∴{an}为递减数列，故原命题为真，则其逆否命题也为真；若{an}是递减数列，则an＋1an，∴an＋an＋12an，∴an＋an＋12an，故其逆命题也是真命题，则其否命题也是真命题．故选A.知识点二等价命题及应用3.判断命题“已知l，m为两条直线，α为平面，且l⊂α，当m⊥l时，m⊥α”的否命题的真假．并简要说明理由．解原命题的逆命题：已知l，m为两条直线，α为平面，且l⊂α，当m⊥α时，m⊥l.很明显这是真命题，所以原命题的否命题也是真命题．4．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b0，则f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．”∵当a＋b0时，a－b，b－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)f(－b)，f(b)f(－a)．∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．一、选择题1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案B解析原命题的逆否命题是“不能被3整除的整数，一定不能被6整除”．故选B.2．命题“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题()A．是假命题B．与原命题真假性相同C．与原命题的逆否命题真假性相同D．与原命题的逆命题真假性相同答案D解析原命题的否命题与原命题的逆命题互为逆否命题，真假性相同．3．已知命题p为“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”，则下列结论正确的是()A．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B都不是锐角，则∠C≠90°”，且是真命题B．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B都不是锐角，则∠C≠90°”，且是假命题C．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”，且是真命题D．命题p的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”，且是假命题答案C解析原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°；结论：∠A，∠B都是锐角．所以它的逆否命题为“在△ABC中，若∠A，∠B不都是锐角，则∠C≠90°”．由于命题p是真命题，因此它的逆否命题是真命题．故选C.4．证明“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”时，可以转化为证明()A．若x＋y≤2，则x2＋y2＝2B．若x＋y＞2，则x2＋y2≠2C．若x2＋y2≠2，则x＋y＞2D．若x＋y≤2，则x2＋y2≤2答案B解析由于原命题与逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若x＋y＞2，则x2＋y2≠2”，故选B.5．有下列4个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“若ab，则a2b2”的逆命题；③“若x≤－3，则x2－x－60”的否命题；④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①若x＋y＝0，则x，y互为相反数，为真命题．则逆否命题也为真命题，故①正确．②“若ab，则a2b2”的逆命题为：若a2b2，则ab.若a＝－2，b＝0，满足a2b2，但ab不成立，故②为假命题．③“若x≤－3，则x2－x－60”的否命题为：若x－3，则x2－x－6≤0.当x＝4时，x2－x－6≤0不成立，故③为假命题．④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题为：若a，b是无理数，则ab是无理数．该命题是假命题，取a＝(2)2，b＝2，则ab＝[(2)2]2＝(2)2·2＝(2)2＝2为有理数，所以该命题是假命题．故真命题的个数为1个．二、填空题6．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为_______________________________________，是________(填“真”或“假”)命题．答案已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0真解析原命题的等价命题为其逆否命题．7．关于原命题“在△ABC中，若cosA＝2sinBsinC，则△ABC是钝角三角形”的叙述：①原命题是假命题；②逆命题为假命题；③否命题是假命题；④逆否命题为真命题．其中正确叙述的序号为________．答案②③④解析在△ABC中，若cosA＝2sinBsinC，则－cos(B＋C)＝2sinBsinC，得cosBcosC＋sinBsinC＝0，得cos(B－C)＝0，故B－C＝90°或B－C＝－90°，即B＝C＋90°或C＝B＋90°，故△ABC是钝角三角形，原命题与逆否命题为真命题．逆命题和否命题互为逆否命题，是假命题，如在钝角△ABC中，A＝15°，B＝15°，C＝150°，cosA＝cos15°＝6＋24，sinB＝sin15°＝6－24，sinC＝sin150°＝12，2sinBsinC＝6－24≠cosA.8．若命题“对于任意实数a∈R，不等式(a－1)x2＋(a－1)x＋40恒成立”的逆否命题为真命题，则实数a的取值范围是________．答案[1,17)解析由题意可知原命题为真命题．当a＝1时，不等式化为40，显然恒成立；当a－1≠0时，由题意得：a－10，Δ＝a－2－a－，得1a17.综上得a的取值范围是1≤a17.三、解答题9．写出命题“若直线l的斜率为－1，则直线l在两坐标轴上的截距相等”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这三个命题的真假．解逆命题：若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率为－1.显然该命题是假命题．否命题：若直线l的斜率不为－1，则直线l在两坐标轴上的截距不相等．显然该命题是假命题．逆否命题：若直线l在两坐标轴上的截距不相等，则直线l的斜率不为－1.显然原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．10．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确．