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课时作业4充分条件与必要条件知识点一充分条件、必要条件的判断1.已知直线a，b，c，“a∥b”的充分条件是()A．a⊥c，b⊥cB．a∩b＝∅C．a∥c，b∥cD．a∥c，b⊥c答案C解析因为a∥c，b∥c⇒a∥b，其余选项都推不出a∥b.2．用符号“⇒”与“⇒/”填空：(1)x4＝y4________x3＝y3；(2)两直线平行________同位角相等；(3)ca＝cb________a＝b；(4)x6________x1.答案(1)⇒/(2)⇒(3)⇒/(4)⇒解析(1)中，当x，y互为相反数时，有x4＝y4，但x3≠y3，故填⇒/；(2)中，由平行线的性质定理知填⇒；(3)中，当c＝0时，对任意的非零实数a，b，都有ca＝cb成立，但a＝b不一定成立，故填⇒/；(4)中，大于6的数一定大于1，故填⇒.3．下列说法是否正确？(1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件；(2)x＞1是x＞2的充分条件；(3)α＝π6是sinα＝12的必要条件；(4)x＋y＞2是x＞1，y＞1的必要条件．解(1)正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0.(2)错误，因为x＞1⇒/x＞2.(3)错误，因为sinα＝12⇒/α＝π6.(4)正确，因为x＞1，y＞1⇒x＋y＞2.知识点二充分条件、必要条件的应用4.已知p：x≤2，q：x≤a.(1)若p是q的充分条件，则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要条件，则a的取值范围是________．答案(1)[2，＋∞)(2)(－∞，2]解析记P＝{x|x≤2}，Q＝{x|x≤a}，(1)由p是q的充分条件，得P⊆Q，得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．(2)由p是q的必要条件，得P⊇Q，得a≤2，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．5．是否存在实数p，使4x＋p0是x2－x－20的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．解由x2－x－20，解得x2或x－1，令A＝{x|x2或x－1}，由4x＋p0，得B＝{|xx－p4}当B⊆A时，即－p4≤－1，即p≥4，此时x－p4≤－1⇒x2－x－20，∴当p≥4时，4x＋p0是x2－x－20的充分条件．一、选择题1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案A解析当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．2．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案A解析若a·b＝|a||b|，则a与b同向，所以a∥b；若a∥b，则a与b同向或反向，所以a·b＝±|a||b|，推不出a·b＝|a||b|，故选A.3．设a0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案A解析结合函数单调性的定义求解．由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于0a1，函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数等价于0a1或1a2，∴“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分条件但不是必要条件．4．下列各小题中，p是q的充分条件的是()①p：m＜－2，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1，q：y＝f(x)是偶函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ.A．①B．③C．②③D．①②答案D解析对于①，函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点，即Δ＝m2－4(m＋3)＞0解得m＞6或m＜－2，所以p是q的充分条件；对于②，p是q的充分条件；对于③，当α＝β＝π2时，p成立，但q不成立，所以p不是q的充分条件，故选D.5．一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A．m0，n0B．mn0C．m0，n0D．mn0答案D解析一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即－mn0，1n0，得m0，n0.由题意可得，m0，n0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.二、填空题6．用“充分条件”和“必要条件”填空．(1)“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的__________；(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__________．答案(1)必要条件(2)充分条件解析(1)xy＝1⇒/lgx＋lgy＝0(如x＝y＝－1)，lgx＋lgy＝0⇒lg(xy)＝0⇒xy＝1.(2)△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′，△ABC∽△A′B′C′⇒/△ABC≌△A′B′C′.7．函数f(x)＝a－22x＋1为奇函数的必要条件是________．答案a＝1解析由于f(x)＝a－22x＋1的定义域为R，且为奇函数，则必有f(0)＝0，即a－220＋1＝0，解得a＝1.8．已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案[－1,5]解析因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以a－4≤1，a＋4≥3，即a≤5，a≥－1，所以－1≤a≤5.三、解答题9．(1)已知A，B∈(0，π)，则“AB”是“sinAsinB”的什么条件？并说明理由；(2)在△ABC中，“AB”是“sinAsinB”的什么条件？并说明理由．解(1)既不是充分条件也不是必要条件.理由如下：当A＝2π3，B＝π2时，AB，但sinA＝32，sinB＝1，sinAsinB；当A＝π2，B＝2π3时，sinAsinB，AB.故“AB”是“sinAsinB”的既不充分也不必要条件．(2)既是充分条件，也是必要条件．理由如下：在△ABC中，若AB，则ab.由正弦定理得，2RsinA2RsinB(其中R是△ABC外接圆的半径)所以sinAsinB.所以“AB”是“sinAsinB”的充分条件．若sinAsinB，则由正弦定理得a2Rb2R(其中R是△ABC外接圆的半径)所以ab，所以AB.所以“AB”是“sinAsinB”的必要条件．10．已知p：关于x的不等式3－m2x3＋m2，q：x(x－3)0，若p是q的充分条件不是必要条件，求实数m的取值范围．解记A＝x3－m2x3＋m2，B＝{x|x(x－3)0}＝{x|0x3}，若p是q的充分条件不是必要条件，则AB.注意到B＝{x|0x3}≠∅，分两种情况讨论：(1)若A＝∅，即3－m2≥3＋m2，求得m≤0，此时AB，符合题意；(2)若A≠∅，即3－m23＋m2，求得m0，要使AB，应有3－m20，3＋m23，m0，解得0m3.综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．