2019-2020学年高中数学 1.2.2 导数的运算法则课时作业（含解析）新人教A版选修2-2

课时作业5导数的运算法则知识点一导数的运算法则1.函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4答案D解析y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2＋3x＋ex，则函数f(x)的表达式可以是()A．f(x)＝x3＋3x2＋lnxB．f(x)＝13x3＋32x2＋1x＋2C．f(x)＝13x3＋32x2＋ex＋3D．f(x)＝13x3＋32x2＋lnx＋3答案C解析对于A，f′(x)＝3x2＋6x＋1x；对于B，f′(x)＝x2＋3x－1x2；对于C，f′(x)＝x2＋3x＋ex；对于D，f′(x)＝x2＋3x＋1x.3．已知函数f(x)＝ex＋3x，若f′(x0)5，则实数x0的取值范围是________．答案(ln2，＋∞)解析∵f(x)＝ex＋3x，∴f′(x)＝(ex)′＋(3x)′＝ex＋3.若f′(x0)5，则ex0＋35，即ex02，∴x0ln2，即实数x0的取值范围是(ln2，＋∞)．4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln2解析设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，化简得y＝1x1x＋lnx1＋1，y＝1x2＋1x－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，依题意，1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝－x2x2＋1＋x2＋，解得x1＝12，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.知识点二复合函数求导5.函数y＝12(ex＋e－x)的导数是()A.12(ex－e－x)B.12(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－x答案A解析设u＝e－x，v＝－x，则ux′＝(ev)′(－x)′＝ev·(－1)＝－e－x，即y′＝12(ex－e－x)．6．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x答案B解析y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2·(－2sin2x)＝2xcos2x－2x2sin2x.7．函数y＝x(1－ax)2(a0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．答案1解析y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5(a0)，解得a＝1.一、选择题1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()A.193B.103C.133D.163答案B解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.∴a＝103.2．下列求导数运算正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx答案B解析对于A，x＋1x′＝1－1x2；对于B，由导数公式(logax)′＝1xlna知正确；对于C，(3x)′＝3xln3；对于D，(x2cosx)′＝2xcosx－x2(sinx)，故选B.3．函数y＝cos2x＋sinx的导数为()A．－2sin2x＋cosx2xB．2sin2x＋cosx2xC．－2sin2x＋sinx2xD．2sin2x－cosx2x答案A解析y′＝－sin2x·(2x)′＋cosx·(x)′＝－2sin2x＋cosx2x.4．设函数f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈0，512π，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[2，3]C．[3，2]D．[2，2]答案D解析f′(x)＝sinθ·x2＋3cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sinθ＋π3.∵θ∈0，512π，∴sinθ＋π3∈22，1，∴2sinθ＋π3∈[2，2]．5．曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B．4e2C．2e2D．e2答案D解析∵y′＝e12x·12，∴y′|x＝4＝12e2，∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝12e2(x－4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S＝12|－e2||2|＝e2.二、填空题6．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．答案2x－y＋3＝0解析∵f′(x)＝cosx＋ex，f′(0)＝cos0＋e0＝2，f(0)＝sin0＋e0＋2＝3，∴切线方程为y－3＝2x，即2x－y＋3＝0.7．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．答案1解析∵f(x)＝f′π4cosx＋sinx，∴f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx.∴f′π4＝－f′π4sinπ4＋cosπ4.∴f′π4＝2－1.从而有fπ4＝(2－1)cosπ4＋sinπ4＝1.8．已知f(x)＝exx，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．答案12解析∵f′(x)＝xx－ex·x′x2＝exx－x2(x≠0)，∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得ex0x0－x20＋ex0x0＝0，解得x0＝12.三、解答题9．求下列各函数的导数．(1)y＝cosx·lnx；(2)y＝exsinx；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝esin(ax＋b)．解(1)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋cosxx.(2)y′＝exsinx′＝xx－exxsin2x＝ex·sinx－ex·cosxsin2x＝exx－cosxsin2x.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cosv·2＝4sinvcosv＝2sin2v＝2sin4x＋2π3.(4)设y＝eu，u＝sinv，v＝ax＋b，则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cosv·a＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．10．曲线y＝e2x·cos3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程．解y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴k＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线l方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.