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课时作业5组合与组合数公式知识点一组合的概念1.给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法；②从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个；③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次，其中是组合问题的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案D解析①②③均与顺序无关，所以都是组合问题.知识点二组合的列举问题2.从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．解要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10个.知识点三组合数的计算3.(1)计算：①C410－C37A33；②C9798＋2C9698＋C9598；③C55＋C56＋C57＋C58＋C59＋C510.(2)证明：mCmn＝nCm－1n－1.解(1)①C410－C37A33＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.②原式＝(C9798＋C9698)＋(C9698＋C9598)＝C9799＋C9699＝C97100＝C3100＝100×99×983×2×1＝161700.③原式＝(C66＋C56)＋C57＋C58＋C59＋C510＝(C67＋C57)＋C58＋C59＋C510＝…＝C610＋C510＝C611＝C511＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.(2)证明：左边＝m·n！m！n－m！＝nn－！m－！n－m！＝nn－！m－！n－m！＝nCm－1n－1＝右边，∴mCmn＝nCm－1n－1.4．解方程：Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.解∵Cx2＋3x＋216＝C5x＋516，∴x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，∴x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验x＝3，x＝－9不合题意，舍去，故原方程的解是x1＝－1，x2＝1.5．解不等式：C4n＞C6n.解由C4n＞C6n得n！4！n－！＞n！6！n－！，n≥6⇒n2－9n－10＜0，n≥6⇒－1＜n＜10，n≥6，又n∈N*，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地答案C解析只有从100位幸运观众选出2位幸运之星，与顺序无关，是组合问题．2．方程Cx28＝C3x－828的解为()A．4或9B．4C．9D．其他答案A解析解法一：(验证法)当x＝4时，C3×4－828＝C428；当x＝9时，C3×9－828＝C1928.解法二：(直接法)当x＝3x－8，解得x＝4；当28－x＝3x－8，解得x＝9.3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种答案A解析分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C13C24＋C23C14＝30种不同的选法．4．(C2100＋C97100)÷A3101的值为()A．6B．101C.16D.1101答案C解析(C2100＋C97100)÷A3101＝(C2100＋C3100)÷A3101＝C3101÷(C3101A33)＝1A33＝16.5．从一个正方体的顶点中选四个点，可构成四面体的个数为()A．70B．64C．58D．52答案C解析四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，所以组成四面体的个数为C48－12＝58.故选C.二、填空题6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．答案10解析从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为__________．(用数字作答)答案210解析从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法．8．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．答案7315解析原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7315.三、解答题9．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．解由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·n！5！n－！＝n！4！n－！＋n！6！n－！，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如下图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？解(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C27·C25＝210个．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610＝C410＝210种走法．