课时作业8函数的极值与导数知识点一函数极值的概念1.关于函数的极值,下列说法正确的是()A.导数为零的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D.若f(x)在区间(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数答案D解析易知选项A,B,C均不正确.对于D,不妨设x0是f(x)在区间(a,b)内的极小值点,则在x0附近,当xx0时,f(x)f(x0),当xx0时,f(x)f(x0),故在x0附近函数f(x)不单调,即f(x)在区间(a,b)内不是单调函数,故选D.2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是()答案C解析由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)0,此时xf′(x)0;排除B、D,当x∈(-2,+∞)时,f′(x)0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)0,若x∈(0,+∞),xf′(x)0,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.知识点二求函数的极值3.设三次函数f(x)的导函数为f′(x),函数y=xf′(x)的图象的一部分如图所示,则()A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)B.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)答案D解析由题图可知,当x∈(-∞,-3)时,xf′(x)>0,即f′(x)<0;当x∈(-3,0)时,xf′(x)<0,即f′(x)>0;当x∈(0,3)时,xf′(x)>0,即f′(x)>0;当x∈(3,+∞)时,xf′(x)<0,即f′(x)<0.故函数f(x)在x=-3处取得极小值,在x=3处取得极大值.4.函数y=x3-3x2-9x(-2x2)有()A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值答案C解析由y′=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.当x-1或x3时,y′0;由-1x3时,y′0.∴当x=-1时,函数有极大值5;3∉(-2,2),故无极小值.5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427,0B.0,427C.-427,0D.0,-427答案A解析f′(x)=3x2-2px-q,由f′(1)=0,f(1)=0得3-2p-q=0,1-p-q=0,解得p=2,q=-1,∴f(x)=x3-2x2+x.由f′(x)=3x2-4x+1=0,得x=13或x=1,易得当x=13时,f(x)取极大值427;当x=1时,f(x)取极小值0.知识点三已知函数极值求参数6.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.解(1)∵f(x)=alnx+bx2+x,∴f′(x)=ax+2bx+1.由题意可知f′(1)=f′(2)=0,∴a+2b+1=0,a2+4b+1=0,解方程组得a=-23,b=-16.(2)由(1),知f(x)=-23lnx-16x2+x,f′(x)=-23x-1-13x+1.当x∈(0,1)时,f′(x)0,当x∈(1,2)时,f′(x)0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)0.故在x=1处函数f(x)取得极小值56.在x=2处函数f(x)取得极大值43-23ln2.∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,求f(2)的值.解f′(x)=3x2+2ax+b.由题意,得f=10,f=0,即a2+a+b+1=10,2a+b+3=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.当a=4,b=-11时,令f′(x)=0,得x1=1,x2=-113.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-∞,-113-113-113,11(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值显然函数f(x)在x=1处取极小值,符合题意,此时f(2)=18.当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,∴f(x)没有极值,不符合题意.综上可知f(2)=18.一、选择题1.已知函数y=f(x),x∈R有唯一的极值,且x=1是f(x)的极小值点,则()A.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≥0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≤0B.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≥0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0C.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0D.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≤0答案C解析由极小值点的定义,知极小值点左右两侧的导函数是左负右正,又函数f(x),x∈R有唯一的极值,故当x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0.2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2答案D解析由题意得f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2,2)时,f′(x)0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)0,函数f(x)单调递增,所以a=2.3.设函数f(x)=2x+lnx,则()A.x=12为f(x)的极大值点B.x=12为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点答案D解析∵f(x)=2x+lnx,∴f′(x)=-2x2+1x,令f′(x)=0,即-2x2+1x=x-2x2=0,解得x=2.当0x2时,f′(x)0;当x2时,f′(x)0,所以x=2为f(x)的极小值点.4.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(-∞,3)C.(0,+∞)D.0,32答案D解析y′=3x2-2a,因为函数在(0,1)内有极小值,所以y′=3x2-2a=0在(0,1)内必有实数解,记f(x)=3x2-2a,如图所以f=-2a<0,f=3-2a>0,解得0<a<32,故选D.5.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.a=0或a=21B.0≤a≤21C.a0或a21D.0a21答案B解析f′(x)=3x2+2ax+7a,因为f(x)在R上不存在极值,则Δ=4a2-84a≤0,解得0≤a≤21.二、填空题6.已知函数f(x)=ax3+bx2+6,其导数f′(x)的图象如图所示,则函数的极小值是________.答案6解析依题意f′(x)=3ax2+2bx.由题图象可知,当x0时,f′(x)0,当0x2时,f′(x)0,故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=6.7.已知函数f(x)=13x3-12x2+cx+d有极值,则c的取值范围为________.答案c14解析∵f′(x)=x2-x+c且f(x)有极值,∴f′(x)=0有不等的实数根,即Δ=1-4c0,解得c14.8.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是________.答案0,12解析由题知,x0,f′(x)=lnx+1-2ax,由于函数f(x)有两个极值点,则f′(x)=0有两个不等的正根,即函数y=lnx+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x0),则a0;设函数y=lnx+1上任一点(x0,1+lnx0)处的切线为l,则kl=y′=1x0,当l过坐标原点时,1x0=1+lnx0x0⇒x0=1,令2a=1⇒a=12,结合图象(略)知0a12.三、解答题9.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处的极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值.解f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).由题意,f′(x)=0应有根x=±1,故5a=3b,于是f′(x)=5ax2(x2-1).(1)当a0,x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:由表可知:4=f-=-a+b+c,0=f=a-b+c,又5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=2.(2)当a0时,同理可得a=-3,b=-5,c=2.10.已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.解因为f(x)在x=-1处取得极值且f′(x)=3x2-3a,所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.当x-1时,f′(x)0;当-1x1时,f′(x)0;当x1时,f′(x)0.所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.作出f(x)的大致图象如图所示:因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).