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课时作业10生活中的优化问题举例知识点一面积、容积最大(小)问题1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案D解析设其中一段长为x，则另一段长为16－x，则两个正方形面积之和为S(x)＝x42＋16－x42,0x16，则S′(x)＝2·x4·14＋2·16－x4·－14＝14(x－8)．令S′(x)＝0，得x＝8.当0x8时，S′(x)0；当8x16时，S′(x)0.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．∴当x＝8时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm答案D解析设圆锥的高度为h，则底面半径r＝l2－h2＝400－h2，∴V＝13πr2h＝13π(400－h2)h＝13π(400h－h3)．V′＝13π(400－3h2)．∴h＝2033cm时，V为最大.知识点二材料最省问题3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D．36米，18米答案A解析设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋512y(y0)，求导数，得l′＝2－512y2.令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0y16时，l′0；当y16时，l′0.所以y＝16是函数l＝2y＋512y(y0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝51216＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．故选A.知识点三利润最大问题4.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件答案C解析y′＝－x2＋81＝－(x＋9)(x－9)，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)，经计算，当x＝9时，y取最大值．5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．答案25解析设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．6．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋x－2＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3x6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．一、选择题1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为()A．5分米B．6分米C．7分米D．8分米答案D解析设底面边长为x分米，则高为h＝256x2，其表面积S＝x2＋4·256x2·x＝x2＋256×4x，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8.当0x8时S′0，当x8时S′0，故x＝8时S最小．2．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，这个数据说明在100天时()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加C．公司盈利在逐渐减少D．公司有时盈利有时亏损答案C解析因为f′(100)＝－1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R答案C解析设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2.令V′＝0，得h＝43R.当0h4R3时，V′0；当4R3h2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大．故应选C.4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm答案B解析设四角截去的小正方形边长为xcm，则V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0x24)，V′＝12x2－8×48x＋482＝12(x2－8×4x＋48×4)＝12(x－24)·(x－8)．当0x＜8时，V′＞0；当8＜x＜24时，V′＜0，∴V在x＝8处取最大值，故选B.5．内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的宽和长分别为()A.R2和32RB.55R和455RC.45R和75RD．以上都不对答案B解析设矩形的宽为x，则长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0xR)，l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x1＝55R，x2＝－55R(舍去)．当0x55R时，l′0，当55RxR时，l′0，所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R，455R.二、填空题6．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为________．答案300m3解析设仓库的容积为Vm3，长为xm，则宽为(20－x)m，V＝x(20－x)×3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，令V′＝0，得x＝10.当0x10时，V′0；当x10时，V′0，∴当x＝10时，V取最大值，V最大＝300.7．如图，已知用某种材料制成的圆柱形饮料瓶的容积为250mL，则它的底面半径r等于________cm时，可使所用的材料最省．(用含有π的式子表示)答案5π－13解析设圆柱的表面积为S，容积为V，则S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝250πr2，则S＝2πr·250πr2＋2πr2＝500r＋2πr2，S′＝－500r2＋4πr，令S′＝0，得r＝5π－13.令S′＞0，得r＞5π－13；令S′＜0，得0＜r＜5π－13，所以当r＝5π－13时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．8．等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝________时，等腰梯形面积最大．答案80解析如图，设∠A＝θ，则h＝AD·sinθ，AB＝40＋2ADcosθ，故S＝12AD·sinθ(40＋40＋2ADcosθ)＝20(80＋80cosθ)sinθ＝1600(1＋cosθ)sinθ.S′＝1600[cosθ(1＋cosθ)－sinθsinθ]，令S′＝0，得cosθ＝－1，cosθ＝12.因为0＜θ＜π2，所以cosθ＞0，所以cosθ＝12，即θ＝π3时，等腰梯形的面积最大，此时AB＝40＋2×40×12＝80.三、解答题9．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24＝k·22，得k＝6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故x＝12时，f(x)取得极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，f(0)f(12)，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．10．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？解(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(时)，1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当汽车的速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了100x时，设耗油量为h(x)升．依题意，得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)，令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)0，h(x)是增函数．故当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11.25升．