2019-2020学年高中数学 1.4.1 全称量词、存在量词课时作业（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业8全称量词、存在量词知识点一全称命题与特称命题的判断1.下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3答案C解析①③是全称命题，②是特称命题．2．下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3答案D解析选项A、B、C均为全称命题．故选D.3．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x0满足x20＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x0∈Q，x20＝3.(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.知识点二全称命题与特称命题的真假判定4.下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x30D．∀x∈R,2x0答案C解析选项A，lgx＝0⇒x＝1；选项B，tanx＝1⇒x＝π4＋kπ(k∈Z)；选项C，x30⇒x0；选项D,2x0⇒x∈R.5．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋20恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x22x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±2时，x2＝2，而±2为无理数，故②为假命题；③因为x2＋10(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋10，即(x－1)20，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题.知识点三全称命题与特称命题的应用6.已知函数f(x)＝x2，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．答案m≥14解析因为x1∈[－1,3]，所以f(x1)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即12x2－m≤0，所以m≥12x2，m≥122，即m≥14.一、选择题1．下列命题为特称命题的是()A．奇函数的图象关于原点对称B．sinπ2－x＝cosxC．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0答案D解析A，B，C中的命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中的命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x0，使sinx0＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ答案A解析只有A，B两个选项中的命题是特称命题．因为|sinx|≤1，所以sinx0＝π2不成立，故B中命题为假命题，又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tanα，故A中命题为真命题．3．下列命题中，是正确的全称命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋20B．菱形的两条对角线相等C．∃x0∈R，x20＝x0D．对数函数在定义域上是单调函数答案D解析A中含有全称量词“任意”，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题．B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，故选D.4．已知a0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)答案C解析由题意：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．5．下列4个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，12x013x0；p2：∃x0∈(0,1)，log12x0log13x0；p3：∀x∈(0，＋∞)，12xlog12x；p4：∀x∈0，13，12xlog13x.其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案D解析由指数函数y＝12x和y＝13x的图象，得当x∈(0，＋∞)时，12x13x恒成立，故p1是假命题；由对数函数y＝log12x和y＝log13x的图象，得当x∈(0,1)时，log12xlog13x恒成立，故p2是真命题；由指数函数y＝12x和对数函数y＝log12x的图象，得当x∈(0，＋∞)时，12xlog12x不一定成立，故p3是假命题；在平面直角坐标系中画出y＝12x和y＝log13x的图象，如图所示，两函数图象在第一象限内有交点M，当x＝13时，log13131213，故当x∈0，13时，12xlog13x，故p4是真命题．综上，真命题是p2，p4.二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案①②④解析①②④是全称命题，③是特称命题．7．给出以下命题：①∀x∈R，有x4x2；②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a0；④∀a∈R，有f(x)＝x2－ax－1的图象与x轴恒有公共点．其中真命题的序号为________．答案②④解析①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin3α＝3sinα成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题；④中，对∀a∈R，Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋40，所以f(x)＝x2－ax－1的图象与x轴恒有公共点，故为真命题．8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案a≤－2或a＝1解析∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.又p∧q为真，故p、q都为真，∴a≤1，a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1.三、解答题9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a0，且a≠1，则对任意实数x，ax0；(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2；(3)∃T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x20＋10.解(1)是全称命题．∵ax0(a0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)是全称命题．存在x1＝0，x2＝π，x1x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)是特称命题．y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)是特称命题．对任意x0∈R，x20＋10，∴命题(4)是假命题．10．(1)命题p：∀x∈R，sinxcosx≥m.若命题p是真命题，求实数m的取值范围；(2)命题q：∃x∈R，sinxcosx≥m.若命题q是真命题，求实数m的取值范围．解设函数f(x)＝sinxcosx，x∈R，则f(x)＝12sin2x，所以函数f(x)的值域是－12，12.(1)由于命题p是真命题，即对任意x∈R，sinxcosx≥m恒成立，所以对任意x∈R，f(x)≥m恒成立．又函数f(x)的最小值为－12，所以只需m≤－12，所以实数m的取值范围是－∞，－12.(2)由于命题q是真命题，即存在实数x满足sinxcosx≥m成立，所以存在实数x，满足f(x)≥m成立．由于函数f(x)的最大值为12，所以m≤12，所以实数m的取值范围是－∞，12.