2019-2020学年高中数学 2.1.1 合情推理（1）（含解析）新人教A版选修1-2

课时作业3合情推理(1)知识点一数列中的归纳推理1.数列2,5,11,20，x,47中的x等于()A．28B．32C．33D．27答案B解析由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.nn－4＋8－n－n－4＝2B.n＋1n＋－4＋n＋＋5n＋－4＝2C.nn－4＋n＋4n＋－4＝2D.n＋1n＋－4＋n＋5n＋－4＝2答案A解析观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确.知识点二几何中的归纳推理3.如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3答案A解析∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.4．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________答案(1)10(2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，推测S4＝1＋2＋3＋4＝10，…S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点三归纳推理的应用5.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？解因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得12n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n边形的对角线条数为12n(n－3)(n≥4，n∈N*).易错点归纳过程找不到规律而致错6.在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(n)＝________(答案用含n的代数式表示)．易错分析在图形推理问题中，一般思路为：(1)从图形的数量关系入手，找到数值变化与序号之间的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构发生一次变化后，与上一次进行比较，看数值发生了怎样的变化．答案10nn＋n＋6解析观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋nn＋2.将以上(n－1)个式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋nn＋2＝12[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝1216nn＋n＋＋nn＋2＝nn＋n＋6.一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案A解析由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．1,2B．1,3C．2,4D．1,4答案C解析由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.3．观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120172()A.40312017B.40322017C.40332017D.40342017答案C解析观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋22n＋1n＋1，所以当n＝2016时不等式为：1＋122＋132＋…＋12017240332017.4．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是()A．(2,10)B．(10,2)C．(3,5)D．(5,3)答案A解析由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．答案13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2解析13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.6．设{an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．答案an＝1n(n∈N*)解析由首项为1，得a1＝1；由n＝1时，由2a22－1＋a2＝0，得a2＝12；当n＝2时，由3a23－2122＋12a3＝0，即6a23＋a3－1＝0，解得a3＝13；…归纳猜想该数列的通项公式为an＝1n(n∈N*)．7．观察分析表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．答案F＋V－E＝2解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.三、解答题8．已知在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝3anan＋3.(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.解(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想an＝3n＋5.9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2).(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an＝9900，问an是数列第几项？解(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．