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课时作业4合情推理(2)知识点一几何中的类比1.在平面内，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．答案1∶8解析由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系．故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.2．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比S△AECS△BEC＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为________．答案VA－CDEVB－CDE＝S△ACDS△BDC解析平面中的面积类比到空间为体积，故S△AECS△BEC类比成VA－CDEVB－CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故ACBC类比成S△ACDS△BDC.故有VA－CDEVB－CDE＝S△ACDS△BDC.知识点二三角中的类比3.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A．S＝r22B．S＝l22C．S＝lr2D．无法确定答案C解析扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr2.知识点三类比的应用4.下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”答案C解析由实数运算的知识易得C项正确．5．利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示．解平面向量的坐标表示：若i，j为平面直角坐标系中x轴，y轴的单位向量，a＝xi＋yj，则a＝(x，y)．类比可得空间向量的坐标表示：若i，j，k为空间直角坐标系中x轴，y轴，z轴的单位向量，b＝xi＋yj＋zk，则b＝(x，y，z).易错点类比不当或机械类比6.若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋a3＋…＋ann(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn0，则数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列．易错分析本题易忽视商――→类比开方的情况，进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不能只从表象类比，否则就会产生机械性类比的错误．答案nc1·c2·c3·…·cn解析由等差、等比数列之间运算的相似特征知，“和――→类比积，商――→类比开方”，容易得出dn＝nc1·c2·c3·…·cn也是等比数列．一、选择题1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案C解析只有平行四边形与平行六面体较为接近．2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案C解析将△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r，∴r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.4．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为()A.xa＋yb＋zc＝1B.xab＋ybc＋zac＝1C.xyab＋yzbc＋zxac＝1D．ax＋by＋cz＝1答案A解析由类比推理可知，方程应为xa＋yb＋zc＝1.二、填空题5．若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m.现已知数列{bn}(bn0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，类比以上结论，可得到bm＋n＝________.答案n－mbnam解析等差数列中的除法与等比数列中的开方对应，等差数列中的乘法与等比数列中的乘方对应，所以bm＋n＝n－mbnam.类比是由特殊到特殊的推理，在运用类比推理时，其一般步骤为：首先，找出两类事物之间的相似性或一致性；然后，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．在近年的高考中屡有出现，且不断翻新，不但考查同学们对联想、类比等方法的掌握情况，还考查同学们的演绎(逻辑)推理能力，本题具有一定的难度，属于高档题．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：______________________.答案在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P－ABC的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22解析利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P－ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝a2＋b2＋c22.7．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°，…所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是__________．(填序号)答案(1)(3)(4)解析根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．三、解答题8．在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是bn的前n项积，试得出类似结论并证明．解类比等差数列可得等比数列对应性质：在公比为4的等比数列{bn}中，Tn表示bn的前n项积，则T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列且公比为4100.证明如下：Tn＝b1b2…bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1∴T10＝b101·445，T20＝b2014190，T30＝b3014435，T40＝b4014780.∴T20T10＝b101·4145，T30T20＝b1014245，T40T30＝b1014345.而b1014245b1014145＝4100，b1014345b1014245＝4100，∴T20T10，T30T20，T40T30是以4100为公比的等比数列．9．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解类似的性质为：若M，N是双曲线x2a2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知的双曲线上，所以n2＝b2a2m2－b2，同理，y2＝b2a2x2－b2.则kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．