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课时作业16合情推理知识点一归纳推理1.观察下列不等式：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……照此规律，第五个不等式为()A．1＋122＋132＋142＋152＜95B．1＋122＋132＋142＋152＜116C．1＋122＋132＋142＋152＋162＜95D．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116答案D解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.2．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，……，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________答案(1)10(2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，推测S4＝1＋2＋3＋4＝10，S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点二类比推理3.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是______________________．答案数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300解析因为等差数列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.4．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图①所示，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以1AD2＝1BD·DC＝BC2BC·BC·BD·DC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，所以1AD2＝1AB2＋1AC2.类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.如图②，连接BE交CD于F，连接AF，因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以1AE2＝1AB2＋1AF2，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2，所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，猜想正确．知识点三归纳和类比推理的应用5.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．胡乱推理D．没有推理答案B解析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．6．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋a3＋…＋ann(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn＞0，则数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列．答案nc1·c2·c3·…·cn解析由等差、等比数列之间运算的相似特征知，“和――→类比积，商――→类比开方”．容易得出dn＝nc1·c2·c3·…·cn也是等比数列．一、选择题1．归纳推理和类比推理的相似之处为()A．都是从一般到一般B．都是从一般到特殊C．都是从特殊到特殊D．所得结论都不一定正确答案D解析归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．类比推理是从特殊到特殊的推理，结论具有推测性，不一定可靠，故选D.2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案C解析由类比推理的定义和特点判断，易知选C.3．观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．80C．86D．92答案B解析由已知条件得，|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整数解(x，y)个数为4n，故|x|＋|y|＝20的整数解(x，y)的个数为80.4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为()答案A解析观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A.5．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直C．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案D解析类比A的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．成立．类比B的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直．成立．类比C的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交．成立．类比D的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行．不成立．二、填空题6．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a，b∈R)，则a＋b＝________.答案41解析根据题意，由于2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…那么可知6＋ab＝6ab，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.7．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2013＋a2014＋a2015的值为______．答案1007解析由题图知a1＝x1＝1，a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，则a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2013＋a2015＝0.又a2＝y1＝1，a4＝y2＝2，a6＝y3＝3，…，则a2014＝1007，所以a2013＋a2014＋a2015＝1007.答案sinx1＋sinx22＜sinx1＋x22解析运用类比推理与数形结合，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标sinx1＋sinx22总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上的点x1＋x22，sinx1＋x22的纵坐标，即有sinx1＋sinx22＜sinx1＋x22成立．三、解答题9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解(1)选择②式计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°·sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinα·cosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.10．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解类似的性质为：若M，N是双曲线x2a2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知的双曲线上，所以n2＝b2a2m2－b2，同理，y2＝b2a2x2－b2.则kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．