2019-2020学年高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程（1）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业14双曲线及其标准方程(1)知识点一双曲线的定义1.已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是()A.双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线答案D解析依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．选D.2．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|＝________.答案33解析由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.知识点二双曲线的标准方程3.焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2－y23＝1B.x23－y2＝1C.y2－x23＝1D.x22－y22＝1答案A解析由双曲线定义知，2a＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a＝1，又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选A.4．若椭圆x234＋y2n2＝1和双曲线x2n2－y216＝1有相同的焦点，则实数n的值是()A.±5B.±3C.5D.9答案B解析由题意得34－n2＝n2＋16,2n2＝18，解得n＝±3.5．如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sinA＝|BC|2R，sinB＝|AC|2R，sinC＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝22|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．一、选择题1．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D.(3，0)答案C解析将方程化为标准方程为x2－y212＝1，∴c2＝1＋12＝32，∴c＝62，故选C.2．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝()A.1B.－1C.12D.－12答案A解析依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为x21k－y28k＝1，则k＞0，且a2＝1k，b2＝8k，所以1k＋8k＝9，解得k＝1.3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为()A.4aB.4a－mC.4a＋2mD.4a－2m答案C解析由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.4．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为()A.3B.2C.23D.4答案C解析设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝3－1，x＋2＝3＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝3－1＋3＋1＝23.5．设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两焦点的距离差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1答案A解析在椭圆C1中，由2a＝26，ca＝513，得a＝13，c＝5.椭圆C1的焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，曲线C2是以F1，F2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C2的标准方程为x242－y232＝1.二、填空题6．焦点在y轴上，过点(1,1)，且ba＝2的双曲线的标准方程是________．答案y212－x2＝1解析由于ba＝2，∴b2＝2a2.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2－x22a2＝1，代入(1,1)点，得a2＝12.此时双曲线方程为y212－x2＝1.7．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝____________________________.答案8解析依题意有3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2×1，解得|PF2|＝6，|PF1|＝8.8．在△ABC中，B(－6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为94，则顶点A的轨迹方程为__________．答案x236－y281＝1(x≠±6)解析设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意，得yx＋6·yx－6＝94，化简，得x236－y281＝1(x≠±6)．故填x236－y281＝1(x≠±6)．三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝5，c＝7；(2)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P5，94.解(1)因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x225－y224＝1或y225－x224＝1.(2)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||＝＋2＋94－02－－2＋94－02＝4142－942＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.10．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝310＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1x≤－32.