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课时作业15双曲线及其标准方程(2)知识点一双曲线定义的应用1.已知F1、F2分别是双曲线x216－y29＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．答案16解析如图，|PF2|－|PF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝4a，即|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a＝4×4＝16.2．设F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解∵双曲线x29－y216＝1，∴a＝3，c＝5，不妨设|PF1||PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.而|F1F2|＝2c＝10，得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝100，∴|PF1||PF2|＝64.∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin60°＝163.知识点二双曲线标准方程的应用3.如下图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()答案C解析直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为x2a＋y2b＝1，若a0，b0，则曲线表示椭圆，故A不正确．关于B、D，由椭圆知直线斜率应满足a0，而由B，D知直线斜率均为负值，故B，D不正确．由C可知a0，b0.4．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝12的距离的比是2∶1，求点P的轨迹方程．解设点P的坐标为(x，y)，由题意得x－2＋y－2x－12＝2，化简得x2－y23＝1，∴点P的轨迹方程为x2－y23＝1.一、选择题1．已知方程x23＋m－y23－m＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是()A.－3＜m＜3B.m＞0C.m≥0D.m＞3或m＜－3答案A解析因为x23＋m－y23－m＝1表示焦点在x轴上的双曲线，所以3＋m＞0，3－m＞0，解得－3＜m＜3.2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝bax上，则双曲线C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1答案A解析若点P(2,1)在直线y＝bax上，则1＝2ba，∴a＝2b.①∵双曲线的焦距为10，∴a2＋b2＝52.将①代入上式，得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为x220－y25＝1.3．已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是12时，点P到坐标原点的距离是()A.62B.32C.3D.2答案A解析由已知可得c＝2，a＝1，∴b＝1.∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．将y＝12代入，可得点P的横坐标为x＝－52.∴点P到原点的距离为－522＋122＝62.4．已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1,3)B.(－1，3)C.(0,3)D.(0，3)答案A解析由题意得(m2＋n)(3m2－n)0，解得－m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1n3.5．设椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于()A.14B.13C.19D.35答案B解析设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝26，①|d1－d2|＝23，②①2＋②2，得d21＋d22＝18.①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝d21＋d22－4c22d1d2＝18－166＝13.二、填空题6．已知方程x24－t＋y2t－1＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：①当1t4时，曲线C表示椭圆；②当t4或t1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t52；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．答案②③④解析①错误，当t＝52时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)0，∴t1或t4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－tt－10.∴1t52；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则4－t0，t－10，∴t4.7．设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．答案(27，8)解析由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)．设P(x，y)是双曲线右支上任一点，则1x2.由|PF1|＝x＋2＋y2，|PF2|＝x－2＋y2，x2－y23＝1，得|PF1|＝2x＋1，|PF2|＝2x－1，又△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|2＋|PF2|2|F1F2|2，即(2x＋1)2＋(2x－1)242，得x72，故72x2，所以|PF1|＋|PF2|＝4x∈(27，8)．8．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9解析如图所示，F(－4,0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9.当且仅当A，P，F′三点共线时取等号．三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)与双曲线x216－y24＝1有相同焦点，且经过点(32，2)；(2)过M(1,1)，N(－2,5)两点．解(1)解法一：由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝16＋4＝20，18a2－4b2＝1，解得a2＝12，b2＝8，∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.解法二：设所求双曲线方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4λ16)，则1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.(2)∵双曲线的焦点位置不定，∴设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．∵点M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，∴m＋n＝1，4m＋25n＝1，解得m＝87，n＝－17，∴所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.10．如图所示，若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1||PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．解双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1||PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝100－1002|PF1||PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝12×32＝16.