2019-2020学年高中数学 2.2.2 事件的相互独立性课时作业（含解析）新人教A版选修2-3

课时作业13事件的相互独立性知识点一事件独立性的判定1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件答案D解析根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．2．下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“一个灯泡能用1000小时”，B＝“一个灯泡能用2000小时”答案A解析把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．故选A.知识点二相互独立事件同时发生的概率3.甲、乙两人各射击一次，他们各自击中目标的概率都是0.6，他们都击中目标的概率是()A．0.6B．0.36C．0.16D．0.84答案B解析甲、乙两人分别击中目标是相互独立的，故他们都击中目标的概率为0.6×0.6＝0.36.故选B.4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13答案A解析“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝46＝23，事件A、B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.故选A.知识点三相互独立事件概率的应用5.甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为()A．0.95B．0.6C．0.05D．0.4答案A解析解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A.6．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是()A.13B.23C.12D．1答案C解析设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝12，P(B)＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝AB∪AB，且AB和AB互斥．故P(C)＝P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)P(B)＝12×1－13＋1－12×13＝12.一、选择题1．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估计做对第二道题的概率是()A．0.80B．0.75C．0.60D．0.48答案B解析设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，解得：P(A2)＝0.60.8＝0.75.2．如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576答案B解析解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.因为K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)[P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(A1A2)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.3．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射一次，那么56等于()A．甲、乙都击中靶心的概率B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D．甲、乙不全击中靶心的概率答案D解析设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A，则P(A)＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P(A)＝1－P(A)＝56.4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16答案B解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×1－34＋1－23×34＝512.5．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次．则三人中只有1人及格的概率为()A.320B.42135C.47250D．以上都不对答案C解析利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×1－35×1－710＋1－45×35×1－710＋1－45×1－35×710＝47250.二、填空题6．某条道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是__________．答案35192解析P＝2560×3560×4560＝35192.7．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．答案0.09解析乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．答案0.46解析设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3发生，故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.三、解答题9．甲、乙、丙三位大学毕业生，同时到一个用人单位应聘，其中被选中的概率分别为甲：P(A)＝25；乙：P(B)＝34；丙：P(C)＝13.且各自能否被选中是无关的．求：(1)三人都被选中的概率；(2)只有两人被选中的概率；(3)三人中有几人被选中的事件最易发生？解(1)∵三个事件A、B、C相互独立，∴三人都被选中的概率P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.(2)只有两人被选中的事件为ABC＋ABC＋ABC∵事件ABC、ABC、ABC彼此互斥，且A、B、C相互独立，∴P(ABC∪ABC∪ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝35×34×13＋25×14×13＋25×34×23＝2360.故只有两人被选中的概率为2360.(3)∵三人都不被选中的概率P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝35×14×23＝110，∴三人中有且仅有1人被选中的概率为1－P(ABC)－P(ABC∪ABC∪ABC)－P(ABC)＝512.∵5122360110，∴三人中只有一人被选中的概率最大，此事件最容易发生．10．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．解记事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝56，P(A2)＝45，P(A3)＝34，P(A4)＝13.(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝56×45×1－34＝16.(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×15＋56×45×1－34＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝16，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×1－45＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×1－34＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以X的分布列为X1234P16161612