2019-2020学年高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质（2）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业17双曲线的简单几何性质(2)知识点一直线与双曲线的交点问题1.若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有两个公共点，则实数k的取值范围是________．答案－52k52且k≠±1解析由y＝kx－1，x2－y2＝4，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.(*)若直线与双曲线有两个公共点，则(*)式有两个不相等的实根．所以1－k2≠0，Δ＝4k2＋－k2，解得－52k52且k≠±1.2．已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2－y24＝1只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值．解当l⊥x轴时，满足题意，此时k不存在，当k存在时，由题意得l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝52.综上可得：直线l的斜率k的取值为52或±2或不存在.知识点二中点弦问题3.已知双曲线x2－y23＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__________．答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B代入双曲线方程得，x21－y213＝1，x22－y223＝1，①②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝y1＋y2y1－y23.∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∴4(x1－x2)＝y1－y23.∴y1－y2x1－x2＝6.∴直线AB的斜率为6.知识点三相交弦的弦长问题4.过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A.2B.4C.8D.42答案B解析双曲线x2－y2＝4的焦点为(±22，0)，把x＝22代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.5．已知双曲线x25－y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若斜率为2的直线经过双曲线的右焦点F2，与双曲线相交于A，B两点(其中点B在x轴下方)，求A，B两点的坐标及|AB|.解双曲线的右焦点F2的坐标为(3,0)，则直线AB的方程为y＝2(x－3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组y＝x－，x25－y24＝1，解得x1＝5，y1＝4，x2＝52，y2＝－1，因此A(5,4)，B52，－1，故|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝52－52＋－1－2＝552.一、选择题1．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A.4B.3C.2D.1答案B解析∵双曲线方程为x2－y24＝1，故P(1,0)为双曲线右顶点，∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12答案D解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1－ba显然不符合，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝5＋12(舍负)．3．设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过F作平行于双曲线的一条渐近线的直线，与双曲线相交于点B，则△AFB的面积为()A.15B.3215C.1532D.6415答案B解析由题意得：c＝5，过F平行于一条渐近线方程为y＝43(x－5)，即4x－3y－20＝0，由4x－3y－20＝0，x29－y216＝1，得yB＝－3215.∴S＝12×(5－3)×3215＝3215.4．如图，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±xB.y＝±3xC.y＝±2xD.y＝±2x答案C解析设F1(－c,0)，M(0，y0)，因为M为PF1中点，且PF1倾斜角为30°，则Pc，233c，将其代入双曲线方程得c2a2－43c2b2＝1，又有c2＝a2＋b2，整理得3ba4－4ba2－4＝0，解得ba2＝2或ba2＝－23(舍去)．故所求渐近线方程为y＝±2x.5．如图，F1、F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.13B.15C.2D.3答案A解析本题主要考查双曲线的几何性质．∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得：|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝13，∴双曲线的离心率e＝ca＝13，故选A.二、填空题6．直线3x－y＋3＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为__________．答案2解析由3x－y＋3＝0，x2－y2＝1，消去y，得x2＋3x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝－2，又3x－y＋3＝0，∴当x＝－1时，y＝0，当x＝－2时，y＝－3，∴AB＝－1＋2＋＋32＝2.7．已知直线y＝12x与双曲线x29－y24＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA、PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝________.答案49解析设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，∴kPA·kPB＝y－y0x－x0·y＋y0x＋x0＝y2－y20x2－x20＝4x29－1－4x209－1x2－x20＝49x2－x20x2－x20＝49.8．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是__________．答案x22－y25＝1解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，依题意c＝7.∴方程可化为x2a2－y27－a2＝1.由x2a2－y27－a2＝1，y＝x－1，得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2a27－2a2.∵x1＋x22＝－23，∴－a27－2a2＝－23，解得a2＝2.∴双曲线的方程为x22－y25＝1.三、解答题9．斜率为2的直线l与双曲线2x2－y2＝6交于A、B两点，若|AB|＝25，求直线l的方程．解设直线l的方程为y＝2x＋m，由y＝2x＋m，2x2－y2＝6，得2x2－(2x＋m)2＝6，得2x2＋4mx＋m2＋6＝0.则x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋62.又|AB|＝1＋22×x1＋x22－4x1x2＝5×4m2－2m2－12＝5×2m2－12＝25，得m＝±22.故所求的直线方程为y＝2x±22.10．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，且a2c＝33.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解(1)由题意得a2c＝33，ca＝3，解得a＝1，c＝3.所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－y22＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由x－y＋m＝0，x2－y22＝1，得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ0)．所以x0＝x1＋x22＝m，y0＝x0＋m＝2m.因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.