2019-2020学年高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值（2）（含解析）新人教A版选修2-3

课时作业16离散型随机变量的均值(2)知识点一两点分布、二项分布的均值1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的数学期望是()A．0.2B．0.8C．1D．0答案B解析因为p(ξ＝1)＝0.8，p(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.2．已知X～Bn，12，Y～Bn，13，且E(X)＝15，则E(Y)＝________.答案10解析因为X～Bn，12，所以E(X)＝n2.又E(X)＝15，则n＝30.所以Y～B30，13.故E(Y)＝30×13＝10.3．某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值．解(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为ξ01P0.40.6，则E(ξ)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．则E(η)＝np＝5×0.6＝3.知识点二超几何分布的均值4.一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是35.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E(ξ)．解p＝35，∴3n＝35，∴n＝5，∴5个球中有2个白球．解法一：白球的个数ξ可取0,1,2.P(ξ＝0)＝C33C35＝110，P(ξ＝1)＝C23C12C35＝35，P(ξ＝2)＝C13C22C35＝310.E(ξ)＝110×0＋35×1＋310×2＝65.解法二：取到白球个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则E(ξ)＝nMN＝3×25＝65.知识点三离散型随机变量均值的应用5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．解设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12，(k＝1,2,3)．ξ的所有可能值为1,2,3.由独立性知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A－1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A－1B－1A2)＋P(A－1B－1A－2B2)＝23×12×13＋232×122＝29，P(ξ＝3)＝P(A－1B－1A－2B－2)＝232×122＝19.∴ξ的分布列为ξ123P232919E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.6．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及均值E(η)．解(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A－表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(A－)＝(1－0.4)3＝0.216，P(A)＝1－P(A－)＝1－0.216＝0.784.(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此η的分布列为η200250300P0.40.40.2E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．一、选择题1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64答案C解析E(ξ)＝0.6n＝3，∴n＝5，∴ξ～B(5,0.6)，∴P(ξ＝1)＝C15×0.6×0.44＝3×0.44.2．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5B．5.25C．5.8D．4.5答案B解析X可以取3,4,5,6P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.∴E(X)＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.3．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.当这4盏装饰灯闪烁一次时，出现红灯的数量ξ的数学期望为()A.32B．2C.83D．3答案C解析本题考查服从二项分布的随机变量的数学期望的公式．依题意，ξ～B4，23，所以E(ξ)＝4×23＝83.故选C.4．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是()A.65B.25C.35D.75答案A解析记“同时取出的两个球中含红球个数”为X，则X可以取0,1,2.P(X＝0)＝C03C22C25＝110，P(X＝1)＝C13C12C25＝610，P(X＝2)＝C23C02C25＝310，E(X)＝0×110＋1×610＋2×310＝65.5．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则E(ξ)等于()A．1.48B．0.76C．0.24D．1答案A解析ξ的分布列为ξ13P0.760.24E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.二、填空题6．甲、乙两人独立地从6门选修课程中任选3门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)＝________.答案1.5解析ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C36C33C36C36＝120，P(ξ＝1)＝C16C25C23C36C36＝920，P(ξ＝2)＝C26C14C13C36C36＝920，P(ξ＝3)＝C36C36C36＝120，则E(ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5.7．投掷两个正方体骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望是________．答案509解析在一次试验中成功的概率为1－46×46＝59，∵X～B10，59，∴E(X)＝np＝10×59＝509.8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．答案124解析由已知可得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，∴ab＝16·3a·2b≤163a＋2b22＝16×122＝124.当且仅当3a＝2b＝12时取等号，即ab的最大值为124.三、解答题9．在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根据均值公式，得E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.因为E(X2)E(X1)故这次射击比赛战士乙得分的均值较大．所以战士乙获胜的希望较大．10．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝14×12＝18；P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516；P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ02468P18516516316116∴E(ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.