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课时作业18抛物线及其标准方程知识点一抛物线的定义1.已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案C解析方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|可化为x2＋y2＝|3x＋4y－12|5，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线．故选C.2．给出下列命题：①到定点F(－1,0)的距离和定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；②到定点F(2,1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；③抛物线的焦点一定在y轴上．其中假命题是________(填序号)．答案②③解析由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F(2,1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x轴上，所以命题③为假命题．3．平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．解解法一：设点P的坐标为(x，y)，则x－2＋y2＝|x|＋1.两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|，所以y2＝4x，x≥0，0，x0.于是动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x0)．解法二：由于点F(1,0)到y轴的距离为1，所以当x0时，射线y＝0上的点满足题意；当x≥0时，已知条件等价于点P到点F(1,0)的距离与到其直线x＝－1的距离相等，所以点P的轨迹是以点F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.于是动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x0)．知识点二抛物线的标准方程4.抛物线y＝2x2的焦点坐标是________，准线方程为________．答案0，18y＝－18解析抛物线方程即x2＝12y，可知焦点在y轴上，且p2＝18，所以焦点坐标是0，18，准线方程为y＝－18.5．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且p2＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)，则焦点坐标为p2，0，准线为x＝－p2，则焦点到准线的距离是p＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x.一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是()A.y2＝－4xB.x2＝4yC.y2＝－4x或x2＝4yD.y2＝4x或x2＝－4y答案C解析设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.2．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.12B.1C.2D.4答案C解析由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－p2.由x2＋y2－6x－7＝0得(x－3)2＋y2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p＝2.故选C.3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B.1C.32D.2答案D解析易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2，(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝kx(k0)得k＝2.故选D.4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2＝8xB.y2＝－8xC.y2＝4xD.y2＝－4x答案A解析设动圆的半径为r，圆心为O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.故选A.5．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于()A.4B.2C.1D.8答案C解析如图，F14，0，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴54x0＝x0＋p2＝x0＋14，∴x0＝1.故选C.二、填空题6．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.7．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．答案x＝－54解析OA的垂直平分线方程为y＝－2x＋52，令y＝0，得x＝54，∴焦点F的坐标为54，0.∴抛物线方程为y2＝5x，其准线方程为x＝－54.8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.答案26解析以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26m.三、解答题9．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．解当m0时，准线方程为x＝－m4，由条件知1－－m4＝3，所以m＝8.此时抛物线方程为y2＝8x；当m0时，准线方程为x＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝5.(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12＞2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.