2019-2020学年高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质（1）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业19抛物线的简单几何性质(1)知识点一由抛物线的标准方程研究几何性质1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A.y2＝8xB.y2＝－8xC.y2＝8x或y2＝－8xD.x2＝8y或x2＝－8y答案C解析依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.2．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．答案x2＝4y解析由e＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.知识点二由抛物线的几何性质求标准方程3.已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为()A.x2＝2yB.x2＝2y或x2＝－2yC.x2＝4yD.x2＝4y或x2＝－4y答案D解析由题设知抛物线的焦点坐标为(0,1)或(0，－1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y.故选D.4．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A.y2＝36xB.y2＝－36xC.y2＝±36xD.y2＝±33x答案C解析设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A±32，12(取点A在x轴上方)，则有14＝±32a，解得a＝±36，所以抛物线方程为y2＝±36x.故选C.知识点三焦点弦问题5.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74答案C解析根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：12(|AF|＋|BF|)－14＝32－14＝54.故选C.6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．解抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为52，因此点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72.一、选择题1．抛物线y2＝－4px(p0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A.F到y轴的距离B．F到准线l的距离C.F的横坐标D．F到抛物线上一点的距离答案A解析∵焦点到准线的距离为2p，∴p表示点F到y轴的距离．故选A.2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于()A.10B.8C.6D.4答案B解析|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故选B.3．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A.有且仅有一条B.有两条C.有无穷多条D.不存在答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B.4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝3与抛物线C：x2＝py(p0)相交于A，B两点，且OA⊥OB，则抛物线C的方程为()A.y2＝6xB.y2＝3xC.x2＝6yD.x2＝3y答案D解析依题意，由x2＝pyp，y＝3得：A(－3p，3)，B(3p，3)，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，即3－3p·33p＝－1，∴p＝3，∴抛物线C的方程为x2＝3y.故选D.5．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于()A.30°B.45°C.60°D.90°答案D解析由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A－a，a24，Ba，a24，a0.S△AOB＝12×2a×a24＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.故选D.二、填空题6．AB是过抛物线x2＝4y焦点的弦，且|AB|＝10，则AB的中点的纵坐标为________．答案4解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝y1＋y2＋2＝10，即y1＋y2＝8，故AB的中点的纵坐标为4.7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．答案－34解析∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，∴p2＝2，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝0－32＋2＝－34.8．抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案6解析如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝33p，∴B点坐标为33p，－p2.又点B在双曲线上，故13p23－p243＝1，解得p＝6.三、解答题9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3.又F32，0，所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则焦点Fp2，0，直线l：x＝p2，∴A，B两点坐标分别为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|.∵△OAB的面积为4，∴12·p2·2|p|＝4，∴p＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.