2019-2020学年高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质（2）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业20抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析由题意知，点(2,4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点？(2)两个公共点？(3)没有公共点？解将直线l和抛物线C的方程联立得y＝kx＋1，y2＝4x，消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝14，此时y＝1.∴直线l与抛物线C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，①当Δ0，即k1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；③当Δ0，即k1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离．综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；(3)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点.知识点二中点弦问题3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．答案y＝x解析由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B代入抛物线方程得y21＝4x1，y22＝4x2，①②①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．又y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1.∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1等于()A.45°B.90°C.60°D.120°答案B解析如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1.又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO.同理∠BFB1＝∠B1FO.于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.故选B.5．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，求|PQ|的最小值．解设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由x＋y＋m＝0，y2＝2x，消去x得y2＋2y＋2m＝0，令Δ＝4－8m＝0，得m＝12，因此|PQ|的最小值等于直线x＋y＋5＝0与x＋y＋12＝0间的距离，即等于5－122＝924.一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案C解析由y2＝8x，y＝kx－2，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.又由Δ＝42(k＋2)2－16k2＞0，得k＞－1.则由k＋k2＝4，得k＝2.故选C.2．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为()A.2x－y－4＝0B.2x＋y－4＝0C.2x－y＋4＝0D.2x＋y＋4＝0答案A解析设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＝8x1，y22＝8x2，两式相减，得(y1＋y2)·(y1－y2)＝8(x1－x2)．又P(3,2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4.又直线l的斜率存在，∴直线l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝2，∴直线l的方程为2x－y－4＝0，故选A.3．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1y2x1x2的值为()A.4B.－4C.p2D.－p2答案B解析解法一：设过焦点Fp2，0的直线方程为x＝my＋p2.联立x＝my＋p2，y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.又x1＝y212p，x2＝y222p，所以x1x2＝y21y224p2＝p24.于是y1y2x1x2＝－p2p24＝－4.故选B.解法二：采用特例法，当直线与x轴垂直时，易得Ap2，p，Bp2，－p，y1y2x1x2＝－4.故选B.4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案C解析设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得y2＝8x，y＝kx＋，消去x得到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点；当k≠0时，令Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k0或0k≤1.故－1≤k≤1.故选C.5．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA→·MB→＝0，则k＝()A.12B.22C.2D.2答案D解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋8k2，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝8k，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为MA→·MB→＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2有两个公共点，则a的取值范围是________．答案a－14且a≠0解析由x－y＋1＝0，y＝ax2，得ax2－x－1＝0.由题意得a≠0，Δ＝－2－4×a－，解得a－14且a≠0.7．抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是__________．答案(1,1)解析把直线2x－y－4＝0平移至与抛物线y＝x2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x－y＋b＝0，联立y＝x2，得x2－2x－b＝0，由题意得Δ＝4＋4b＝0，b＝－1.即x2－2x＋1＝0，解x＝1，y＝1.8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为________．答案23解析由y2＝42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－2.设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋2＝42，∴x0＝32，∴y20＝42×32＝24，∴|y0|＝26，∴S△POF＝12×2×26＝23.三、解答题9．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA⊥OB，求实数m的值．解由y＝x＋m，y2＝8x，得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.Δ0解得m2，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.(1)因为|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝2·64－32m＝10，所以m＝716.(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．10．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．证明设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－1kx，由题意知k≠0.由y＝kx，y2＝2x，解得x＝0，y＝0或x＝2k2，y＝2k，即点A的坐标为2k2，2k，同样由y＝－1kx，y2＝2x，解得点B的坐标为(2k2，－2k)．故AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，化简并整理，得1k－ky＝x－2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．