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课时作业22数系的扩充和复数的概念知识点一复数的概念1.下列命题中正确的是()A．0是实数不是复数B．实数集与复数集的交集是实数集C．复数集与虚数集的交集是空集D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应答案B解析A中，0是实数也是复数，所以A不正确．B中，实数集与复数集的交集是实数集，所以B正确．C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，所以C不正确．D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，所以D不正确．故选B.2．(1＋3)i的实部与虚部分别是()A．1，3B．1＋3，0C．0,1＋3D．0，(1＋3)i答案C解析(1＋3)i的实部为0，虚部为1＋3.3．以3i－2的虚部为实部，以－3＋2i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－2＋2iD.2＋2i答案A解析3i－2的虚部为3，－3＋2i的实部为－3，∴所求复数为3－3i.知识点二复数的分类4.下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若复数z＝－5i，则复数z的实部为0；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④若复数z＝3i2，则它的虚部是3.其中正确命题的序号是()A．①B．②C．②③D．②③④答案B解析在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，而是实数，故①错误．在②中－5i为纯虚数，故②正确．在③中，若x＝－1，则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，故③错误．在④中z＝3i2＝－3，故它的虚部为0，故④错误，所以选B.5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.知识点三复数相等6.已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝________.答案－1解析依题意，得a＋2b＝－4b，a－b＝2a＋1，解得a＝－65，b＝15，所以a＋b＝－65＋15＝－1.7．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解∵M∪P＝P，∴M⊆P.即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.∴实数m的值为1或2.一、选择题1．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则a－b＝0，a＋b≠0.2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则()A．M∪R＝IB．(∁IM)∪R＝IC．(∁IM)∩R＝RD．M∩(∁IR)＝∅答案C解析根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅，故A，B，D三项均错，只有C项正确．3．以复数52－ix2＋2x(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点()A．在圆x2＋y2＝2上B．在圆x2＋y2＝2外C．在圆x2＋y2＝2内D．与圆x2＋y2＝2的位置关系不确定答案B解析因为以复数52－ix2＋2x(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为52，－x2＋2x.又254＋x2＋2x＝(x＋1)2＋214＞2，所以该点在圆x2＋y2＝2外，选B.4．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－π4B．2kπ＋π4C．2kπ±π4D.kπ2＋π4(以上k∈Z)答案B解析由sin2θ－1＝0，2cosθ＋1≠0，得2θ＝2kπ＋π2，θ≠2kπ＋π±π4(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋π4(k∈Z)．5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为()A．0B．－1C．－32D.16答案A解析由z1＞z2，得2a2＋3a＝0，a2＋a＝0，－4a＋1＞2a，即a＝0或a＝－32，a＝0或a＝－1，解得a＝0.a＜16.二、填空题6．给出下列复数：①－2i，②3＋2，③8i2，④isinπ，⑤4＋i；其中表示实数的有(填上序号)________．答案②③④解析②为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数．7．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________.答案－2解析把原式整理得：(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，∵m∈R，∴m2＋7m＋10＝0，m2－5m－14＝0⇒m＝－2.8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．答案{3}解析由已知，得m2－3m＝0，m2－4m＋3＝0，m2＜10，解得m＝3，所以所求的实数m的取值集合是{3}．三、解答题9．当实数m为何值时，z＝m2－m－6m＋3＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解复数z的实部为m2－m－6m＋3，虚部为m2＋5m＋6.(1)复数z是实数的充要条件是：m2＋5m＋6＝0，m＋3≠0⇔m＝－2或m＝－3，m≠－3⇔m＝－2.∴当m＝－2时复数z为实数．(2)复数z是虚数的充要条件是：m2＋5m＋6≠0，m＋3≠0，即m≠－3且m≠－2.∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．(3)复数z是纯虚数的充要条件是：m2－m－6m＋3＝0，m2＋5m＋6≠0⇔m＝－2或m＝3且m≠－3，m≠－2且m≠－3⇔m＝3.∴当m＝3时复数z为纯虚数．10．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．解x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件得x20＋kx0＋2＝0，2x0＋k＝0，解得x0＝2，k＝－22或x0＝－2，k＝22，所以方程的实根为x0＝2或x0＝－2，相应的k值为－22或22.