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课时作业23复数的几何意义知识点一复平面内的复数与点的对应1.在复平面内的复数3i－i2对应的点的坐标为()A．(1,3)B．(3,1)C．(－1,3)D．(3，－1)答案A解析3i－i2＝1＋3i，故复数3i－i2对应的点的坐标为(1,3)．故选A.2．已知a∈R，且0＜a＜1，i是虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析因为0＜a＜1，∴a－1＜0，a＞0.又复数z＝a＋(a－1)i在复平面内对应的点为(a，(a－1))，位于第四象限．3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2且a≠1C．a＝0D．a＝2或a＝0答案D解析由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.知识点二复数的模4.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是()A．z1z2B．z1z2C．|z1||z2|D．|z1||z2|答案D解析复数不能比较大小，排除选项A，B.又|z1|＝52＋32，|z2|＝52＋42.∴|z1||z2|.故选D.5．已知复数z满足|z|＝1，则z＝()A．±1B．±iC．a＋bi(a，b∈R)，且a2＋b2＝1D．1＋i答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝1，得a2＋b2＝1.故选C.6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．答案－32，32解析|z|＝1＋4m2≤2，解得－32≤m≤32.知识点三复数的几何意义的应用7.复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹方程是________．答案(x＋1)2＋(y－2)2＝9解析|z|＝x＋2＋y－2＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝9.8．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解解法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ→的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．一、选择题1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)答案A解析由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m＋3＞0，m－1＜0，解得－3＜m＜1，故选A.2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A．(1，3)B．(1，5)C．(1,3)D．(1,5)答案B解析|z|＝a2＋1.∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4.∴1＜a2＋1＜5，即1＜|z|＜5.故选B.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且AC→＝3CB→，则点C对应的复数是()A．4iB．2＋4iC.72iD．1＋72i答案C解析两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5)，B(－2,3)，设点C的坐标为C(x，y)，(x，y∈R)，则由AC→＝3CB→，得AB→＝4CB→，即(－8，－2)＝4(－2－x，3－y)，得x＝0，y＝72，因此，点C对应的复数为72i.故选C.4．复平面内，向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为()A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i答案C解析∵OA→表示复数1＋i，∴点A(1,1)，将OA→向右平移一个单位，得O′A′→对应1＋i，A′(2,1)，∴点A′对应复数2＋i.故选C.5．向量OZ→＝(3，1)按逆时针方向旋转60°所对应的复数为()A．－3＋iB．2iC．1＋3iD．－1＋3i答案B解析向量OZ→＝(3，1)，设其方向与x轴正方向夹角为θ，tanθ＝13＝33，则θ＝30°，按逆时针旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又|OZ→|＝2，所以旋转后对应的复数为2i，故选B.二、填空题6．在复平面内，O为坐标原点，向量OB→对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量OC→对应的复数为________．答案3＋4i解析∵点B的坐标为(3，－4)，∴点A的坐标为(－3,4)．∴点C的坐标为(3,4)．∴向量OC→对应的复数为3＋4i.7．复数z＝1＋cosα＋isinα(πα2π)的模的取值范围为________．答案(0,2)解析|z|＝＋cosα2＋sin2α＝2＋2cosα，∵πα2π，∴－1cosα1.∴02＋2cosα4，∴|z|∈(0,2)．8．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－3－2i，z4＝3－2i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.答案180°解析|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝5，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.三、解答题9．实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上．解∵m为实数，∴1－m,4－m2都是实数，∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i对应的点的坐标为(1－m，4－m2)．(1)复数z对应的点位于虚轴上，则1－m＝0，解得m＝1.(2)复数z对应的点位于第二象限，则1－m＜0，4－m2＞0，∴m＞1，－2＜m＜2，故1＜m＜2.(3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上，则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，解得m＝0或m＝3.10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤2，判断复数ω＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．解|ω|＝x＋y2＋x－y2＝x2＋y2＝2|z|，而1≤|z|≤2，故2≤|ω|≤2.所以ω对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(2)2]＝2π.