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课时作业28函数的极值与导数知识点一函数极值的概念1.关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D．若f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案D解析易知选项A，B，C均不正确．对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)内的极小值点，则在x0附近，当xx0时，f(x)f(x0)，当xx0时，f(x)f(x0)，故在x0附近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.2．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是()①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cosx－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④D．①③答案B解析①④为单调函数，不存在极值.知识点二求函数的极值3.函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)的极值情况是()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值答案C解析y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2x－1时，y′0；当－1x2时，y′0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．4．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2B．2，－1C．－1D．－3答案C解析f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则知在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)0，在区间(－1，2)上，f′(x)0，故当x＝－1时，f(x)取极小值.知识点三已知函数极值求参数5.若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k0或－4＋k0(如图所示)，即k－4或k4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).易错点对函数取极值的充要条件把握不准6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f(2)的值．易错分析应注意f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，尽管f′(0)＝0，但由于f(x)是增函数，故f(x)在x＝0处不存在极值．所以应对所得结果进行检验．解f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意，得f＝10，f＝0，即a2＋a＋b＋1＝10，2a＋b＋3＝0，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－113.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－113－113－113，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)没有极值，不符合题意．综上可知f(2)＝18.一、选择题1．下列说法正确的是()A．若f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极小值B．若f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极大值C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)D．极值点一定出现在定义区间的内部答案D解析A不正确，反例：f(x)＝x，f(x)≥f(0)＝0，因为0是区间[0，＋∞)的端点，所以f(0)不是f(x)的极小值；B不正确，反例：f(x)＝－x，f(x)≤f(0)＝0，同理f(0)不是f(x)的极大值；C不正确，由极值的定义知极大值不一定比定义域内的所有函数值都大；D正确．2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)答案B解析因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)0，解得x3或x2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．3．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(0,1)D.－∞，12答案C解析f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0b1，当0xb时，f′(x)0；当bx1时，f′(x)0，符合题意．所以实数b的取值范围是(0,1)．4．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x0，得x2或x0；令f′(x)＝3x2－6x0，得0x2.∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故①②错，③④对．二、填空题5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．答案－19解析y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.6．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1,3)内与x轴的交点的个数为________．答案1解析因为f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又f(－1)＝－30，f(0)＝50，所以f(x)在(－1,3)内与x轴只有一个交点．7．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间－3，－12内单调递增；②函数y＝f(x)在区间－12，3内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－12时，函数y＝f(x)有极大值．其中正确的结论为________．答案③解析由图象知，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理，f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x＝2时，函数有极大值；而在x＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x＝－12的左右两侧均为增函数，所以x＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.三、解答题8．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0，a2＋4b＋1＝0，解方程组得a＝－23，b＝－16.(2)由(1)，知f(x)＝－23lnx－16x2＋x，f′(x)＝－23x－1－13x＋1.当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1,2)时，f′(x)0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.故在x＝1处函数f(x)取得极小值56.在x＝2处函数f(x)取得极大值43－23ln2.∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．9．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a0时，对x∈R，有f′(x)0，∴当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a0时，由f′(x)0，解得x－a或xa，由f′(x)0，解得－axa，当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调递减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．