2019-2020学年高中数学 2019年数学高考真题 新人教A版必修5

2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新，稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了没有区分度的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．2019年全国卷对必修5解三角形的考查，通常会有一道大题，相对来说难度不大，有时也会应用到圆锥曲线或立体几何的计算中．线性规划根据新课标的要求，考查越来越少，今年只有全国Ⅱ、Ⅲ卷文科进行了考查．基本不等式往年很少单独考查，经常综合到其他知识当中，但今年的全国Ⅰ卷文、理的第23题考查了基本不等式，取代了绝对值不等式．全国卷对数列的考查难度不大，通常都是数列基本量的计算，今年全国Ⅰ卷中概率大题不但成了压轴，同时还综合了数列的考查．自主命题的省市对数列的考查难度相对大一些，尤其在江苏卷、北京理科中，数列的考查难度较大，经常结合数列知识进行创新．下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区必修5所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3答案A解析∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c24c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.2.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2答案C解析由题意知a10，q0，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1，q＝2，∴a3＝a1q2＝4.故选C.3.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n答案A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得a1＋4d＝5，4a1＋6d＝0，解得a1＝－3，d＝2.所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋nn－12×2＝n2－4n.故选A.4．(2019·浙江高考)设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an＋1＝a2n＋b，n∈N*，则()A．当b＝12时，a1010B．当b＝14时，a1010C．当b＝－2时，a1010D．当b＝－4时，a1010答案A解析解法一：考察选项A，a1＝a，an＋1＝a2n＋b＝a2n＋12，∵an－122＝a2n－an＋14≥0，∴a2n≥an－14.∵an＋1＝a2n＋120，∴an＋1≥an－14＋12＝an＋14an，∴{an}为递增数列．因此，当a1＝0时，a10取到最小值，现对此情况进行估算．显然，a1＝0，a2＝a21＋12＝12，a3＝a22＋12＝34，a4＝a23＋12＝1716，当n1时，an＋1a2n，∴lgan＋12lgan，∴lga102lga922·lga8…26lga4＝lga644，∴a10a644＝1＋11664＝C064＋C1641161＋C2641162＋…＋C646411664＝1＋64×116＋64×632×1162＋…＋11664＝1＋4＋7.875＋…＋11664＝12.875＋…＋1166410，因此符合题意，故选A.解法二：由已知可得an＋1－an＝a2n＋b－an＝an－122＋b－14.对于选项B，当a＝12，b＝14时，an＝12恒成立，所以排除B；对于选项C，当a＝2或－1，b＝－2时，an＝2或－1恒成立，所以排除C.对于选项D，当a＝1±172，b＝－4时，an＝1±172恒成立，所以排除D.故选A.5．(2019·浙江高考)若实数x，y满足约束条件x－3y＋4≥0，3x－y－4≤0，x＋y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1B．1C．10D．12答案C解析如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－32x并平移，知当直线y＝－32x＋z2经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C.6．(2019·北京高考)若若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7B．1C．5D．7答案C解析由|x|≤1－y，且y≥－1，得x－y＋1≥0，x＋y－1≤0，y≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.作直线l0：y＝－3x，并进行平移．显然当直线z＝3x＋y过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.7．(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，x≥－1，y≥－1，则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A．2B．3C．5D．6答案C解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当直线z＝－4x＋y过点A(－1，1)时，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.8．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组x＋y≥6，2x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：①p∨q②p∨q③p∧q④p∧q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④答案A解析解法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A.解法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组x＋y≥6，2x－y≥0，且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．故选A.二、填空题9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.答案3π4解析∵bsinA＋acosB＝0，∴asinA＝b－cosB.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.10．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．答案63解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，a＝43，∴S△ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.11．(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．答案0－10解析∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an0，则n5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.12．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.答案100解析∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝a7－a37－3＝13－54＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋10×92d＝100.13．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________.答案4解析由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，所以S10＝10a1＋10×92d＝100a1，S5＝5a1＋5×42d＝25a1，所以S10S5＝4.14．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.答案58解析设等比数列的公比为q，又a1＝1，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵S3＝34，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝34，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－12，∴S4＝1×1－－1241－－12＝58.15．(2019·全国卷Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________.答案1213解析由a24＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝1a1＝3.∴S5＝131－351－3＝1213.16．(2019·北京高考)若x，y满足x≤2，y≥－1，4x－3y＋1≥0，则y－x的最小值为________，最大值为________．答案－31解析x，y满足的平面区域如图所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.17．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由x＋y－3＝0，2x＋3y－6＝0，解得x＝3，y＝0，即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.18．(2019·天津高考)设x0，y0，x＋2y＝5，则x＋12y＋1xy的最小值为________．答案43解析∵x0，y0，∴xy0.∵x＋2y＝5，∴x＋12y＋1xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋6xy＝2xy＋6xy≥212＝43.当且仅当2xy＝6xy时取等号．∴x＋12y＋1xy的最小值为43.三、解答题19．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin（2B＋π6）的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC，得bsinC＝csinB.由3csinB＝4asi