2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1 不等式 1.不等式的基本性质学案

一不等式1．不等式的基本性质学习目标：1.理解实数大小与实数运算性质间的关系.2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．(重点、难点)教材整理1两实数的大小比较阅读教材P2～P3“探究”以上部分，完成下列问题．ab⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0；ab⇔a－b0.已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是()A．P在Q的左边B．P在Q的右边C．P，Q两点重合D．不能确定B[∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．]教材整理2不等式的基本性质阅读教材P3～P5第一行，完成下列问题．性质1对称性ab⇔ba性质2传递性如果ab，bc，那么ac性质3可加性如果ab，那么a＋cb＋c推论如果ab，cd，那么a＋cb＋d性质4可乘性如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc推论如果ab0，cd0，那么acbd性质5乘方性质如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)性质6开方性质如果ab0，那么nanb(n∈N，n≥2)已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是()A．a＞b⇒am2＞bm2B.ac＞bc⇒a＞bC．a3＞b3⇒1a＜1bD．a2＞b2⇒a＞bC[对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，∵a2＋ab＋b2＝a＋b22＋34b2＞0恒成立，∴a－b＞0，∴a＞b.又∵ab＞0，∴1a＜1b.∴C成立；对于D，a2＞b2⇒(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b.]比较大小【例1】设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x3，试比较A与B的大小．[精彩点拨]转化为考察“两者之差与0”的大小关系．[自主解答]A－B＝x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)0，∴x3＋33x2＋x.故AB.1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)――→转化考查差的符号(难以确定)――→转化考查积的符号――→转化考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．1．若例1中改为“A＝y2＋1x2＋1，B＝yx，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．[解]因为A2－B2＝y2＋1x2＋1－y2x2＝x2y2＋1－y2x2＋1x2x2＋1＝x2－y2x2x2＋1＝x－yx＋yx2x2＋1，且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，所以x－yx＋yx2x2＋1＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.利用不等式的性质求范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围．[精彩点拨]由－π2≤α＜β≤π2可确定α2，β2的范围，进而确定α＋β2，α－β2的范围．[自主解答]∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，∴－π2＜α＋β2＜π2.又－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4，∴－π2≤α－β2＜π2.又∵α＜β，∴α－β2＜0，∴－π2≤α－β2＜0，即α＋β2∈－π2，π2，α－β2∈－π2，0.1．本例中由α2，β2的范围求其差α－β2的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．2．已知－6a8,2b3，分别求a－b，ab的取值范围．[解]∵－6a8,2b3.∴－3－b－2，∴－9a－b6，则a－b的取值范围是(－9,6)．又131b12，(1)当0≤a8时，0≤ab4；(2)当－6a0时，－3ab0.由(1)(2)得－3ab4.因此ab的取值范围是(－3,4)．利用性质证明简单不等式【例3】已知cab0，求证：ac－abc－b.[精彩点拨]构造分母关系→构造分子关系→证明不等式[自主解答]∵ab，∴－a－b.又cab0，∴0c－ac－b，∴1c－a1c－b0.又∵ab0，∴ac－abc－b.1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：ab，则－a－b；二是不等式的加法性质：cab0，又－a－b，则0c－ac－b；三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质．2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：aca＋c＞bdb＋d.[证明]∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴1b＞1a＞0，①1d＞1c＞0，②①＋②得1b＋1d＞1a＋1c＞0，即b＋dbd＞a＋cac＞0，∴aca＋c＞bdb＋d.不等式的基本性质[探究问题]1．甲同学认为ab⇔1a1b，乙同学认为ab0⇔1a1b，丙同学认为ab，ab0⇔1a1b，请你思考一下，他们谁说的正确？[提示]他们说的都不正确．2．不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，要注意什么？[提示]要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以)这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变，特别注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号方向改变．【例4】判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若ab，则ac2bc2；(2)若ac2bc2，则ab；(3)若ab，ab≠0，则1a1b；(4)若ab，cd，则acbd.[精彩点拨]主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．[自主解答](1)错误．当c＝0时不成立．(2)正确．∵c2≠0且c20，在ac2bc2两边同乘以c2，∴ab.(3)错误．ab⇒1a1b成立的条件是ab0.(4)错误．ab，cd⇒acbd，当a，b，c，d为正数时成立．1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．4．判断下列命题的真假．(1)若ab0，则1a1b；(2)若|a|b，则a2b2；(3)若abc，则a|c|b|c|.[解](1)∵ab0，∴ab0，∴1ab0，∴a·1abb·1ab，∴1b＜1a，∴(1)是真命题．(2)∵|a|b，取a＝1，b＝－3，但a2b2，∴(2)是假命题．(3)取ab，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．1．设a∈R，则下面式子正确的是()A．3a2aB．a22aC．1aaD．3－2a1－2a[答案]D2．已知m，n∈R，则1m＞1n成立的一个充要条件是()A．m＞0＞nB．n＞m＞0C．m＜n＜0D．mn(m－n)＜0D[∵1m＞1n⇔1m－1n＞0⇔n－mmn＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0.]3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是()①a＜b＜0⇒a2＜b2；②ab＜c⇒a＜bc；③ac2＞bc2⇒a＞b；④a＜b＜0⇒ba＜1.A．0B．1C．2D．3C[①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.②不正确．∵ab＜c，若b＜0，则a＞bc.③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞ba＞0.]4．若1a3，－4b2，那么a－|b|的取值范围是________．[解析]∵－4b2，∴0≤|b|4，∴－4－|b|≤0.又1a3，∴－3a－|b|3.[答案](－3,3)5．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小．[解]b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.由题意可得方程组b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.∴c－a＝a2＋1－a＝a－122＋340，∴ca，∴b≥ca.