2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1 不等式 3.三个正数的算术 几何平

3．三个正数的算术­几何平均不等式学习目标：1.探索并了解三个正数的算术­几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3.会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)教材整理1三个正数的算术­几何平均不等式阅读教材P8～P9定理3，完成下列问题．1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知a，b，c为正数，则ab＋bc＋ca有()A．最小值为3B．最大值为3C．最小值为2D．最大值为2A[ab＋bc＋ca≥33ab×bc×ca＝3，当且仅当ab＝bc＝ca，即a＝b＝c时，取等号．]教材整理2基本不等式的推广阅读教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列问题．对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．教材整理3利用基本不等式求最值阅读教材P9～P9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．设x＞0，则y＝x＋4x2的最小值为()A．2B．22C．32D．3D[y＝x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3·3x2·x2·4x2＝3，当且仅当x2＝4x2时取“＝”号．]证明简单的不等式【例1】设a，b，c为正数，求证：1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥27.[精彩点拨]根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥33abc，结合不等式的性质证明．[自主解答]∵a0，b0，c0，∴a＋b＋c≥33abc0，从而(a＋b＋c)2≥93a2b2c20.又1a2＋1b2＋1c2≥331a2b2c20，∴1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥331a2b2c2·93a2b2c2＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0，b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明](1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3a＋c3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.用平均不等式求解实际问题【例2】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝ksinθr2.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？[精彩点拨]根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝ksinθr2，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．[自主解答]∵r＝2cosθ，∴E＝k·sinθcos2θ40θπ2.∴E2＝k216·sin2θ·cos4θ＝k232(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤k2322sin2θ＋cos2θ＋cos2θ33＝k2108，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝12，tanθ＝22时，等号成立．∴h＝2tanθ＝2，即h＝2时，E最大．因此选择灯的高度为2米时，才能使桌子边缘处最亮．1．本题的关键是在获得了E＝k·sinθcos2θ4后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．2．制造容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？[解]设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.∵桶的容积为π2，∴πr2h＝π2，∴rh＝12r.∴y＝30πr2＋20rπ＝10π3r2＋1r＋1r≥10π×333，当且仅当3r2＝1r时，即r＝393时等号成立，此时h＝392.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为393米，高为392米．利用平均不等式求最值[探究问题]1．利用不等式a＋b＋c3≥3abc求最值的条件是什么？[提示]“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．2．如何求y＝4x4＋x2的最小值？[提示]y＝4x4＋x2＝4x4＋x22＋x22≥334x4·x22·x22＝3，当且仅当4x4＝x22，即x＝±2时，等号成立，∴ymin＝3.其中把x2拆成x22和x22两个数，这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y＝4x4＋x2＝4x4＋x24＋34x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为4x4＝x24＝34x2时x无解，不能求出y的最小值．【例3】已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．[精彩点拨]为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求出最值后再开方．[自主解答]∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤122x2＋1－x2＋1－x233＝427.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时等号成立．∴y≤239，∴y的最大值为239.1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12x＋2－2x＋1＋x33＝12.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术­几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．3．若2a＞b＞0，试求a＋42a－bb的最小值．[解]a＋42a－bb＝2a－b＋b2＋42a－bb＝2a－b2＋b2＋42a－bb≥3·32a－b2·b2·42a－bb＝3，当且仅当2a－b2＝b2＝42a－bb，即a＝b＝2时取等号．所以当a＝b＝2时，a＋42a－bb有最小值为3.1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．336B．22C．12D．1235C[∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x·22y·23z＝332x＋2y＋3z＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝23时，等号成立．]2．若a＞b＞0，则a＋1ba－b的最小值为()A．0B．1C．2D．3D[∵a＋1ba－b＝(a－b)＋b＋1ba－b≥33a－b·b·1ba－b＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋1ba－b的最小值为3.故选D.]3．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．[解析]∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8sin2x＋sin2x＋2cos2x33＝8×827＝6427，∴y2≤6427，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±2时取等号．∴ymax＝893，ymin＝－893.[答案]893－8934．函数f(x)＝5x＋20x2(x0)的最小值为________．[解析]∵f(x)＝5x＋20x2＝52x＋52x＋20x2≥3353＝15.当52x＝20x2，即x＝2时取等号．[答案]155．已知x0，y0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.[证明]因为x0，y0，所以1＋x＋y2≥33xy20,1＋x2＋y≥33x2y0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.