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第4课时相似三角形的性质素质训练1．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD∶A′D′＝5∶3，下面给出四个结论：①△ABC的周长与△A′B′C′的周长的比为5∶3；②△ABC与△A′B′C′的对应高之比为5∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应中线长之比为5∶3；④BC∶B′C′＝5∶3.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】由相似三角形的性质知，四个结论均正确，故选D．2．两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是()A．13和22B．14和21C．15和20D．16和19【答案】C【解析】由相似三角形周长之比、中线之比均等于相似比可得周长之比为l1l2＝34.又l1＋l2＝35，解得l1＝15，l2＝20.故选C．3．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB边于点Q.若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为()A．3B．3或43C．3或34D．43【答案】B【解析】△ABC∽△AQP时，AQAB＝APAC，AQ＝AP·ABAC＝2×64＝3.△ABC∽△APQ时，AQAC＝APAB，AQ＝AP·ACAB＝2×46＝43.故选B．4．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，若S△ADE＝S梯形BCED，那么AD∶DB＝________.【答案】1∶(2－1)【解析】在△ABC中，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC．所以S△ADES△ABC＝ADAB2.又因为S△ADE＝S梯形BCED，所以S△ABC＝2S△ADE.所以12＝ADAB2⇒ADAB＝12⇒AB＝2AD．所以ADDB＝ADAB－AD＝AD2AD－AD＝12－1，即AD∶DB＝1∶(2－1)．5．(2015年九江期末)如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是∠CAB的平分线，tanB＝12，则CD∶DB＝________.【答案】1∶2【解析】延长BA到E，使AE＝AC，连接CE，则∠E＝∠ECA＝45°.∵∠CAD＝∠BAD＝45°，∴∠E＝∠BAD＝45°.∴CE∥AD．∴CD∶BD＝AE∶AB．∵AC＝AE，∴CD∶BD＝AC∶AB．∵AC∶AB＝tanB＝12，∴CD∶DB＝1∶2.6．如图所示，在△ABC中，DE⊥AC，BC⊥AC，AE＝BC＝4，DE＝3，则S△ABC＝________.【答案】323【解析】∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC．∴△ADE∽△ABC．∴AEAC＝DEBC.又AE＝BC＝4，DE＝3，∴4AC＝34⇒AC＝163.∴S△ABC＝12×BC×AC＝12×4×163＝323.7．如图所示，已知D，E，F是△ABC三边的中点，设△DEF的面积为1，△ABC的周长为9.试求：(1)△DEF的周长；(2)△ABC的面积．【解析】(1)因为D，E，F是△ABC三边的中点，所以EF∥BC且EF＝12BC．同理DE＝12AC，DF＝12AB，所以△DFE∽△ABC，且EFBC＝12.由相似三角形周长的比等于相似比，得l△DEFl△ABC＝EFBC＝12，又l△ABC＝9，所以l△DEF＝92.(2)由相似三角形面积的比等于相似比的平方，得S△DEFS△ABC＝EFBC2＝14，又S△DEF＝1，所以S△ABC＝4.8．如图所示，点D，E，F，G，H，Ι是△ABC三边的三等分点，△ABC的周长是l，面积是S，求六边形DEFGHI的周长和面积．【解析】易得DE綊13BC，HI綊13AC，GF綊13AB．又DI＝13AB，HG＝13BC，EF＝13AC，则所求周长为23(AB＋AC＋BC)＝23l.由△ADE∽△ABC，AD＝13AB，可得S△ADE＝19S△ABC．同理可得，S△BHI＝S△CFG＝19S△ABC．所以所求面积为S－3×19S＝23S.能力提升9．如图所示，正方形DEFM内接于△ABC，若S△ADE＝1，S正方形DEFM＝4，求S△ABC．【解析】因为正方形DEFM的面积S正方形DEFM＝4，所以DE＝DM＝2.过A点作AQ⊥BC于Q点，交DE于P点，如图所示．因为S△ADE＝12×DE×AP＝1，所以AP＝1.所以AQ＝AP＋PQ＝1＋2＝3.又因为DEFM为正方形，所以DE∥MF.从而DE∥BC．所以△ADE∽△ABC．所以APAQ＝DEBC，即13＝2BC⇒BC＝6.所以S△ABC＝12×BC×AQ＝12×6×3＝9.