第7课时柱坐标系与球坐标系简介A.基础巩固1.(2017年宝鸡校级期中)设点M的柱坐标为2,5π4,2,则其直角坐标是________.【答案】(-1,-1,2)【解析】利用互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z.2.(2017年珠海校级期中)已知点M的球坐标为4,π4,3π4,则它的直角坐标为________.【答案】(-2,2,22)【解析】利用互化公式x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ.3.球坐标系中点A3,π4,π4,B3,π2,π2的距离为__________________.【答案】3【解析】将A,B两点分别转化为空间直角坐标32,32,322,(0,3,0),利用两点间距离公式求解.4.半径为22的球面上,纬度为45°,经度为60°的点的直角坐标为________________.【答案】(1,3,2)【解析】即球坐标为22,π4,π3,利用公式x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ化为空间直角坐标即可.5.在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间什么曲面?方程z=-1表示什么曲面?【解析】方程ρ=1表示以z轴为中心,以1为底面半径的圆柱面;方程z=-1表示与Oxy坐标面平行的平面且此平面与Oxy坐标面的距离为1,并在Oxy坐标面的下方.6.在球坐标系中,方程r=1表示什么曲面?方程φ=π4表示什么曲面?【解析】方程r=1表示球心在原点的单位球面;方程φ=π4表示顶点在原点,半顶角为π4的上半个圆锥面,中心轴为z轴.B.能力提升7.如下图,棱长为1的正方体OABC-D′A′B′C′中,对角线OB′与BD′相交于点P,顶点O为坐标原点,OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,已知点P的球坐标P(r,φ,θ),求r,tanφ,sinθ.【解析】因为|OA|=1,所以|OB′|=3.所以r=|OP|=12|OB′|=32.因为φ=∠D′OB′,所以tanφ=|D′B′||OD′|=21=2.因为θ=∠AOB=π4,sinθ=22,所以r=32,tanφ=2,sinθ=22.