2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式讲义 新

1.2基本不等式学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题．教材整理基本定理(重要不等式及基本不等式)1．定理1设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．定理2如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式．同时，我们称a＋b2为正数a，b的算术平均值，称ab为正数a，b的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．3．定理3如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．4．定理4如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b[解析]∵0ab，∴aa＋b2b，A，C错误；ab－a＝a(b－a)0，即aba，故选B.[答案]B利用基本不等式证明不等式【例1】已知a，b，c都是正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[精彩点拨]观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．[自主解答]∵a0，b0，c0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加得：a2b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明．2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明](1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3a＋c3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x0，y0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值．[精彩点拨]根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．[自主解答](1)因为x＋2y＝1，所以1x＋1y＝x＋2yx＋x＋2yy＝3＋2yx＋xy≥3＋22yx·xy＝3＋22，当且仅当2yx＝xy，x＋2y＝1，即x＝2－1，y＝1－22时，等号成立．所以当x＝2－1，y＝1－22时，1x＋1y取最小值3＋22.(2)xy＝135(5x·7y)≤1355x＋7y22＝1352022＝207，当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝107时，等号成立，此时xy取最大值207.在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．2．若将本例(1)的条件改为“已知x0，y0，且1x＋9y＝1”，试求x＋y的最小值．[解]∵x0，y0，且1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥2yx·9xy＋10＝16.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时等号成立．又1x＋9y＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.基本不等式的实际应用【例3】某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？[精彩点拨](1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值．[自主解答](1)依题意得m＝0时，x＝1，代入x＝3－km＋1，得k＝2，即x＝3－2m＋1.年成本为8＋16x＝8＋163－2m＋1(万元)，所以y＝(1.5－1)8＋163－2m＋1－m＝28－m－16m＋1(m≥0)．(2)由(1)得y＝29－m＋1＋16m＋1≤29－2m＋1·16m＋1＝21.当且仅当m＋1＝16m＋1，即m＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成立的条件，解得a≤－3或a≥－1.