2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法

1.3.1|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法1.3.2|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教材整理1绝对值不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}|x|a{x|xa，或x－a}{x∈R|x≠0}R不等式|x|·(1－2x)0的解集是()A．－∞，12B．(－∞，0)∪0，12C．12，＋∞D．0，12[解析]原不等式等价于x≠0，1－2x0，解得x12且x≠0，即x∈(－∞，0)∪0，12.[答案]B教材整理2|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法1．|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.2．|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.不等式1＜|x＋1|＜3的解集为()A．(0,2)B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0)D．(－4，－2)∪(0,2)[解析]由1＜|x＋1|＜3，得1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1，∴0＜x＜2或－4＜x＜－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．[答案]D教材整理3|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法【例1】解下列不等式．(1)1＜|x－2|≤3；(2)|2x＋5|＞7＋x；(3)1x2－2≤1|x|.[精彩点拨]本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[自主解答](1)法一：原不等式等价于不等式组|x－2|＞1，|x－2|≤3，即x＜1或x＞3，－1≤x≤5，解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．法二：原不等式可转化为：①x－2≥0，1＜x－2≤3，或②x－2＜0，1＜－x－2≤3，由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，整理得x＞2或x＜－4.所以原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．(3)①当x2－2＜0且x≠0，即当－2＜x＜2，且x≠0时，原不等式显然成立．②当x2－2＞0时，原不等式与不等式组|x|＞2，x2－2≥|x|等价，x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0，所以|x|≥2，所以不等式组的解为|x|≥2，即x≤－2或x≥2.所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．形如|f(x)|＞g(x)的不等式可借助|ax＋b|＞c的解法，转化为f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)，当然|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号．1．解下列不等式．(1)x＋|2x－1|3；(2)|1－2x|≤3.[解](1)原不等式可化为2x－1≥0，x＋2x－13，或2x－10，x－2x－13，解得12≤x43或－2x12，所以原不等式的解集是x－2x43.(2)原不等式化为|2x－1|≤3，得－3≤2x－1≤3，从而－2≤2x≤4，得解集为{x|－1≤x≤2}．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法【例2】解不等式|x＋2|＋|x－1|≤4.[精彩点拨]在数轴上与－2,1对应的点把数轴分成三部分，在每一部分里分别讨论不等式的解，然后把所求得三个集合取并集；也可以利用绝对值几何意义求解，另外还可以构造函数通过数形结合求得．[自主解答]法一(零点分段讨论法)：(1)x≤－2时，|x＋2|＋|x－1|≤4⇔－2－x＋1－x≤4⇔－2x≤5⇔x≥－52，∴－52≤x≤－2；(2)－2＜x＜1时，|x＋2|＋|x－1|≤4⇔x＋2＋1－x≤4⇔－1≤0，∴－2＜x＜1；(3)x≥1时，|x＋2|＋|x－1|≤4⇔x＋2＋x－1≤4⇔2x≤3⇔x≤32，∴1≤x≤32.因此原不等式的解集为－52，－2∪(－2,1)∪1，32＝－52，32.法二(几何法)：x为不等式|x＋2|＋|x－1|≤4的解⇔x是与数轴上的点A(－2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点．A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离之和都等于3，因此都是原不等式的解，但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点．如图，我们将B向右移动12个单位至点B132，此时B1与A及B距离之和增加1个单位，同理我们将A点向左移动12个单位到A1－52，这时A1与A及B距离之和也增加一个单位，从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点(包括点A1和B1)到A，B的距离之和均小于等于4，而当x＜－52或x＞32时，x与A，B两点的距离之和都大于4.因而原不等式的解集为－52，32.法三(图象法)：将原不等式转化为|x＋2|＋|x－1|－4≤0.构造函数y＝|x＋2|＋|x－1|－4，即y＝－2x－5，x≤－2，－1，－2＜x＜1，2x－3，x≥1，作出函数图象(如图)，当x∈－52，32时，y≤0，所以原不等式的解集为－52，32.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式可从以下三个方面去解：(1)零点分段讨论法设数轴上与a，b对应的点分别是A，B，以A，B为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集．(2)利用|x－a|的几何意义|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差．(3)(构造函数法)数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题关键．2．解不等式|x＋1|＋|x－2|＜4.[解]当x＜－1时，不等式化为－x－1＋2－x＜4，解得－32＜x＜－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋2－x＜4，解得－1≤x≤2；当x＞2时，不等式化为x＋1＋x－2＜4，解得2＜x＜52.所以原不等式的解集为－32，52.含参数的绝对值不等式的综合问题【例3】已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．[精彩点拨][自主解答](1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2.(2)由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，于是g(x)＝－2x－1，x－3，5，－3≤x≤2，2x＋1，x2.利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，实数m的取值范围是(－∞，5]．1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，运用分类讨论思想，利用函数的单调性求解．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．3．若将“本例的条件和第(1)问”改为“f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|且关于x的不等式f(x)≤|2a－1|的解集不是空集”，试求实数a的取值范围．[解]易知f(x)＝－3x－1，x≤－3，5－x，－3x1，3x＋1，x≥1.当x≤－3时，f(x)＝－3x－1≥8，当－3x1时，f(x)＝5－x是减函数，∴4f(x)8，当x≥1时，f(x)＝3x＋1≥4.因此f(x)的值域是[4，＋∞)．要使f(x)≤|2a－1|的解集不是空集，必须有|2a－1|≥4，∴2a－1≥4或2a－1≤－4，解得a≥52或a≤－32.因此实数a的取值范围是aa≤－32或a≥52.含绝对值的不等式的解法[探究问题]1．当c0时，|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是什么？[提示]c0时，|ax＋b|≤c的解集为.|ax＋b|≥c的解集为R.2．如何解含绝对值的不等式？[提示]利用绝对值的意义和性质，去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式组，再进一步求解．也可利用函数思想通过图象求解．3．如何解含一个绝对值的不等式？[提示]含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式．此类不等式的简单解法是等价命题法，即①当a＞0时，|f(x)|＜a⇒－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.②当a＝0时，|f(x)|＜a无解，|f(x)|＞a⇔f(x)≠0.③当a＜0时，|f(x)|＜a无解，|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．(2)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式．此类不等式的简单解法是等价命题法，即①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．(3)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式．此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.(4)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式．此类题的简单解法是利用绝对值的含义，即|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0，|f(x)|＜f(x)⇔x∈.4．如何解含两个绝对值的不等式？[提示](1)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较复杂；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式．不妨设a＜b，于是f(x)＝－2x＋a＋b－c，x≤a，b－a－c，a＜x＜b，2x－a－b－c，x≥b.这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．(3)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式，此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0.【例4】已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)＞2.[精彩点拨](1)去掉绝对值，把f(x)表示为分段函数，画出f(x