2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式

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1.4绝对值的三角不等式学习目标:1.理解绝对值不等式的性质定理.2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式;会求简单绝对值不等式的最值.教材整理绝对值的三角不等式1.定理1若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.2.定理2设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,等号成立⇔(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之间.若|a+b|=|a|+|b|成立,a,b∈R,则有()A.ab0B.ab0C.ab≥0D.以上都不对[解析]由定理1易知答案选C.[答案]C绝对值不等式的理解与应用【例1】已知|a|≠|b|,m=|a|-|b||a-b|,n=|a|+|b||a+b|,则m,n之间的大小关系是________.[精彩点拨]利用绝对值三角不等式定理分别判定m,n与1的大小.[自主解答]因为|a|-|b|≤|a-b|,所以|a|-|b||a-b|≤1,即m≤1.又因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a|+|b||a+b|≥1,即n≥1.所以m≤1≤n.[答案]m≤n1.本题求解的关键在于|a|-|b|≤|a-b|与|a+b|≤|a|+|b|的理解和应用.2.在定理1中,以-b代b,得|a-b|≤|a|+|b|;以a-b代替实数a,可得到|a|-|b|≤|a-b|.1.若将“本例的条件”改为“n=|a+b||a|+|b|”,则n与1之间的大小关系是________.[解析]∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a+b||a|+|b|≤1,∴n≤1.[答案]n≤1运用绝对值不等式求最值与范围【例2】对任意x∈R,求使不等式|x+1|+|x+2|≥m恒成立的m的取值范围.[精彩点拨]令t=|x+1|+|x+2|,只需m≤tmin.[自主解答]法一:对x∈R,|x+1|+|x+2|≥|(x+1)-(x+2)|=1,当且仅当(x+1)(x+2)≤0时,即-2≤x≤-1时取等号.∴t=|x+1|+|x+2|的最小值为1,故m≤1.∴实数m的取值范围是(-∞,1].法二:t=|x+1|+|x+2|=-2x+3,x-2,1,-2≤x≤-1,2x+3,x-1.∴t≥1,则t=|x+1|+|x+2|的最小值为1,故m≤1.因此实数m的取值范围是(-∞,1].1.本题也可利用绝对值的几何意义求解.2.对于含有两个绝对值以上的代数式,通常利用分段讨论的方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质求函数最值.2.若|x+1|+|x-3|>k对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围为________.[解析]设f(x)=|x+1|+|x-3|,则有f(x)=-2x+2,x≤-1,4,-1≤x≤3,2x-2,x≥3.当x≤-1时,f(x)有最小值为4;当-1≤x≤3时,f(x)有最小值为4;当x≥3时,f(x)有最小值为4.综上所述,f(x)有最小值为4,所以k<4.[答案](-∞,4)含绝对值不等式的证明【例3】设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证:ax+bx22.[精彩点拨]不管|a|,|b|,1的大小,总有m≥|a|,m≥|b|,m≥1,然后利用绝对值不等式的性质证明.[自主解答]依题意m≥|a|,m≥|b|,m≥1,又|x|m,∴|x||a|,|x||b|,|x|1,从而|x|2|b|.因此ax+bx2≤ax+bx2=|a||x|+|b||x2||x||x|+|x|2|x2|=2,即ax+bx22.1.将文字语言“m等于|a|,|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|,m≥|b|,m≥1”是证明本题的关键.2.运用绝对值不等式的性质证明不等式时,要注意放缩的方向和“尺度”,切忌放缩过度.3.若f(x)=x2-x+c(为常数),且|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).[证明]|f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)|=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1||x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|.又|x-a|1,∴|f(x)-f(a)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+11+2|a|+1=2(|a|+1).绝对值的三角不等式[探究问题]1.绝对值的三角不等式|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是什么?[提示]绝对值的三角不等式:|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边.2.绝对值的三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的结构特点是什么?[提示]对|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的诠释:定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|-|b|可能是负的≤中间部分中间部分为|a+b|时,ab≤0,且|a|≥|b|时,左边的等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等号成立.中间部分|a±b|肯定是非负的≥左端≤右端用“+”连接时,ab≥0,右端取等号,ab≤0,且|a|≥|b|时,左端取等号;用“-”连接时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左端取等号,ab≤0,右端取等号.右端|a|+|b|是非负的≥中间部分中间部分为|a+b|时,ab≥0,等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≤0,等号成立.3.含绝对值不等式的证明思路是什么?[提示]含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,进而特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.【例4】设a,b∈R,求证:|a|1+|a|+|b|1+|b|≥|a+b|1+|a+b|.[精彩点拨]利用绝对值不等式性质或构造函数证明.[自主解答]法一:①若ab=0或a+b=0,不等式显然成立.②若ab≠0且a+b≠0,∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a|+|b|1+|a|+|b|=11+1|a|+|b|≥11|a+b|+1=|a+b|1+|a+b|(*)又|a|1+|a|>|a|1+|a|+|b|,|b|1+|b|>|b|1+|a|+|b|,∴|a|1+|a|+|b|1+|b|>|a|+|b|1+|a|+|b|.又由(*)式可知|a|1+|a|+|b|1+|b|>|a+b|1+|a|+|b|.综上①②可知|a|1+|a|+|b|1+|b|>|a+b|1+|a+b|.法二:若ab=0或a+b=0,不等式显然成立.若ab≠0且a+b≠0,∵|a+b|≤|a|+|b|,∴0<1+1|a|+|b|≤1+1|a+b|.即0<1+|a|+|b||a|+|b|≤1+|a+b||a+b|.取倒数得|a|+|b|1+|a|+|b|≥|a+b|1+|a+b|,又由法一知,原不等式成立.法三:∵|a|+|b|≥|a+b|,∴|a|+|b|+(|a|+|b|)·|a+b|≥|a+b|+(|a|+|b|)·|a+b|,即(|a|+|b|)(1+|a+b|)≥|a+b|(1+|a|+|b|).两边同除以(1+|a+b|)(1+|a|+|b|)得|a|+|b|1+|a|+|b|≥|a+b|1+|a+b|.又由法一知,原不等式成立.法四:构造函数f(x)=x1+x,任取x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=x11+x1-x21+x2=x1-x21+x11+x2<0.∴f(x)在[0,+∞)上为增函数.又|a|+|b|≥|a+b|,∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|),即|a|+|b|1+|a|+|b|≥|a+b|1+|a+b|.又由法一知,所证不等式成立.1.已知实数a,b满足ab0,那么有()A.|a-b||a|+|b|B.|a+b||a|-|b|C.|a+b||a-b|D.|a-b|||a|-|b||[解析]∵ab0,∴|a-b||a+b|成立,|a-b|=|a|+|b|,|a+b|≥|a|-|b|也成立.[答案]C2.若a,b∈R,则使|a|+|b|1成立的充分不必要条件()A.|a|≥12且|b|≥12B.|a+b|≥1C.|a|≥1D.b-1[解析]当b-1时,|b|1,∴|a|+|b|1,但|a|+|b|1⇒/b-1(如a=2,b=0),∴“b-1”是“|a|+|b|1”的充分不必要条件.[答案]D3.若|a-c|b,则下列不等式不成立的是()A.|a||b|+|c|B.|c||a|+|b|C.b||c|-|a||D.b|a|-|c|[解析]由|a-c|b可知b0,∴b=|b|.∵|a|-|c|≤|a-c|,∴|a|-|c|b,则|a|b+|c|=|b|+|c|,故选项A成立.同理,由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|b,∴|c||a|+b=|a|+|b|,故选项B成立.而由选项A成立,得|c|-|a|-|b|,由选项B成立,得|c|-|a||b|.∴-|b||c|-|a||b|,即||c|-|a|||b|=b.故选项C成立.由选项A成立知选项D不成立.故选D.[答案]D4.已知α,β是实数,给出三个论断:①|α+β|=|α|+|β|;②|α+β|5;③|α|22,|β|22.以其中的两个论断为条件,另一个论断作为结论,下列正确的命题是()A.①③⇒②B.①②⇒③C.②③⇒①D.都不正确[解析]当①,③成立时,则|α+β|=|α|+|β|425.[答案]A5.已知f(x)=|x-10|+|x-20|(x∈R),求f(x)的最小值,并求当f(x)有最小值时,实数x的取值范围.[解]∵|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|≥|(x-10)+(20-x)|=10.当且仅当(x-10)(20-x)≥0时取等号.由(x-10)(20-x)≥0,得10≤x≤20,因此f(x)的最小值为10,此时实数x的取值范围是[10,20].

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