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§1命题学习目标：1.了解命题的概念．(重点)2.掌握四种命题的结构形式．会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．(难点)3.正确判断命题的真假性．(易混点)1．命题及相关概念(1)定义：可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫作命题．(2)分类真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.(3)形式：通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．思考：“x5”是命题吗？[提示]“x5”不是命题，因为它不能判断真假．2．四种命题(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题．(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．3．四种命题之间的关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真原命题逆命题否命题逆否命题真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1.判断正误(1)“x2－3x＋2＝0”是命题．()(2)“一个实数不是正数就是负数”是真命题．()(3)若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同．()[答案](1)×(2)×(3)×2.下列语句是命题的是()A．0.333不是无限不循环小数B．2x＞5C．请同学们用好《非常学案》！D．三角形是平面图形吗？A[B不能判断其真假，C、D分别是祈使句、疑问句不是命题．]3.把“奇函数的图像关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为________．[答案]若一个函数是奇函数，则这个函数的图像关于原点对称4.命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为________．若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行[由命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行”．]命题的判断【例1】(1)下列语句是命题的有________(填序号)．①x2－x－2＝0.②函数f(x)＝x2是偶函数．③若ac＞bc则b＞c.④证明x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．①末位数字是0的整数能被5整除；②偶函数的图像关于y轴对称；③菱形的对角线互相垂直．②③[(1)①因为x的值不确定，无法判断其真假，故不是命题，②，③是命题，④是祈使句，故不是命题．](2)题号“若p，则q”形式真假判断①若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除真②若一个函数是偶函数，则这个函数的图像关于y轴对称真③若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直真1．能否判断真假是命题的本质条件，形式上陈述句是命题的主要表现形式，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．2．判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．1．(1)下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(填序号)．①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”③“一个数不是正数就是负数”；④“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”；⑤“若x＋y为有理数，则x，y都是有理数”；⑥作一个三角形．①③④⑤①④[①通过反意疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．②疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题，数0既不是正数也不是负数．④是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边．⑤是假命题，如x＝3，y＝－3.⑥祈使句，不是命题．](2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．①对角线相等的四棱柱是长方体；②整数的平方是非负整数；③能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解]①可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．②可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．③可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题.四种命题的关系及真假判断【例2】(1)下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2bc2，则ab”的逆命题．其中是真命题的是________．(2)设命题为“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”．试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．①②③[(1)①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.](2)否命题为：“若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0没有实数根”；逆命题为：“若关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根，则m＞0”；逆否命题：“若关于x的方程x2＋x－m＝0没有实数根，则m≤0”．由方程的判别式Δ＝1＋4m≥0得m≥－14，即m≥－14时，方程有实根．∴m＞0使1＋4m＞0，方程x2＋x－m＝0有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程x2＋x－m＝0有实根，必须m≥－14，不能推出m＞0，故逆命题为假，所以否命题也为假命题．写出四种命题的方法1．交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；2．同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；3．交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．提醒：对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．2．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．[解](1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．等价命题的应用[探究问题]1．互为逆否的两个命题其真假性有什么关系？[提示]互为逆否的两个命题其真假性相同．2．如何运用互为逆否命题的两个命题之间的关系证明某个命题？[提示]互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，故当原命题的真假性不易证明时，可以先证明它的逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性．【例3】证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[思路探究]根据原命题写出其逆否命题，由于原命题与逆否命题是等价的，故判断逆否命题的真假，可得原命题的真假．[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．1.(变条件)把题设条件“若a2－4b2－2a＋1≠0”换成“若a2＋b2＝2”，证明：a＋b≤2.[证明]将“若a2＋b2＝2，则a＋b≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若a＋b2，则a2＋b2≠2”．由于a＋b2，则a2＋b2≥12(a＋b)2＞12×22＝2，所以a2＋b2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．2.(变条件)把题设条件“若a2－4b2－2a＋1≠0”换成“设a，b，c∈Z，且a2＋b2＝c2”，求证：a，b，c不可能都是奇数．[证明]假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．∴a2＋b2为偶数，而c2为奇数，∴a2＋b2≠c2与a2＋b2＝c2矛盾．∴假设不成立，原命题成立．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性．这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法．1．下列语句不是命题的是()A．15是3的倍数B．15能被3整除吗？C．3是15的约数D．3和5都是15的约数B[根据命题的定义选B.]2．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2，则a≤bB．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2B[根据命题的四种形式可知，原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.]3．下列命题是真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2A[x2＝1⇒x＝±1，故B错误；当x＝y＜0时，x＝y无意义；当x＝－2，y＝1时，显然x2＞y2.]4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．否[根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．]5．判断命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．[解]∵m0，∴12m0，∴12m＋40.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋40.∴原命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．