2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 3 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量

3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题3．3全称命题与特称命题的否定学习目标：1.了解全称量词与存在量词的定义.2.理解全称命题与特称命题的含义．(重点)3.掌握全称命题与特称命题的否定方法．(重点)4.掌握各种命题的真假判断及应用．(难点)1．全称量词与全称命题“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考：观察下列命题：(1)每一个三角形都有内切圆；(2)所有实数都有算术平方根；(3)对一切有理数x5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．[提示]命题(1)(2)(3)分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题(1)(3)是真命题，命题(2)是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题(2)为假命题．2．存在量词与特称命题“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考：观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x5；(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋20.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．[提示]命题(1)(2)(3)分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题(1)(2)是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题(3)为假命题．3．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．思考：(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？[提示](1)不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题．反之，亦然．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．()(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()[答案](1)×(2)√(3)×2．下列命题中全称命题的个数是()(1)所有的指数函数都是单调函数；(2)负数的平方都是正数；(3)至少有一个整数x0，使log2x00；(4)某个四边形不是平行四边形．A．1B．2C．3D．4[答案]B3．下列命题中假命题的是()A．对任意的x∈R,2x0B．存在x∈R，tanx＝1C．存在x∈R，lgx1D．对任意的x∈N＋，(x－1)20D[对于D：当x＝1时，(x－1)2＝0，故D为假命题．]4．命题：“存在x∈R，x2＋2x＋4≤0”的否定是________．[解析]特称命题的否定为全称命题，故命题“存在x∈R，x2＋2x＋4≤0”的否定是“对任意的x∈R，x2＋2x＋40”．[答案]对任意的x∈R，x2＋2x＋40全称命题与特称命题的判断及真假判断【例1】(1)下列命题是特称命题的是()①所有的合数都是偶数；②有一个实数x0，使x20＋x0＋1＝0；③存在x0∈R，x20＋1≥1；④正方形都是矩形．A．①④B．②③C．①③D．②④(2)下列命题中的真命题的个数为()①任意x∈R，都有x2－x＋112；②存在α0，β0，使cos(β0－α0)＝cosα0－cosβ0；③任意x，y∈N，都有x－y∈N.A．0B．1C．2D．3[解析](1)①④是全称命题，②③是特称命题．(2)①真命题，因为x2－x＋1－12＝x2－x＋12＝x－122＋140，所以x2－x＋112恒成立；②真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意；③假命题，如x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.[答案](1)B(2)C1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词与存在量词，要注意，有的全称命题不含全称量词，这时要根据命题涉及的意义去判断．2．全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．1．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1x2，都有tanx1tanx2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．[解](1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1x2，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．全称命题、特称命题的否定【例2】写出下列命题的否定：(1)三个给定产品都是次品；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数；(4)有的四边形是正方形．思路探究：先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．[解](1)是全称命题，否定是：三个给定产品中至少有一个不是次品．(2)是全称命题，否定为：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(3)是特称命题，否定为：方程x2－8x＋15＝0的每一个根都不是偶数．(4)是特称命题，否定为：所有四边形都不是正方形．1．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．2．常见关键词的否定：关键词是都是所有有的至少有n个词语的否定不是≤≥不都是有一个任意至多有n－1个2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)有些三角形的三条边相等；(3)菱形的对角线互相垂直；(4)存在一个实数，使得3x0.[解](1)存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根；因为该方程的判别式Δ＝m2＋40恒成立，故为假命题．(2)所有三角形的三条边不全相等；显然为假命题．(3)有的菱形的对角线不垂直；显然为假命题．(4)对于所有实数x，都满足3x≥0；显然为真命题．全称命题与特称命题的应用[探究问题]1．对于任意实数x，不等式sinx＋cosxm恒成立，求实数m的取值范围．[提示]令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥－2，又∵任意x∈R，sinx＋cosxm恒成立，∴只要m－2即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－2)．2．存在实数x，不等式sinx＋cosxm有解，求实数m的取值范围．[提示]令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4∈[－2，2]．又∵存在x∈R，sinx＋cosxm有解，∴只要m2即可，∴所求m的取值范围是(－∞，2)．【例3】不等式x2－2mx－10对一切1≤x≤3都成立．求m的取值范围．思路探究：这是一个全称命题，可以利用根的分布和二次函数的性质求解，亦可分离参数，通过求函数的最值、解不等式求得参数范围．[解]法一：∵Δ＝4m2＋40恒成立，∴设其两根为x1，x2，且x1x2.∵{}x|1≤x≤3⊆{}x|x2－2mx－10＝{}x|xx2或xx1，∴方程x2－2mx－1＝0的两根x1，x2都大于3或小于1.∵x1x2＝－10，∴两根都小于1.令f(x)＝x2－2mx－1，则m1，f10，解得m0.∴m的取值范围为{}m|m0.法二：∵1≤x≤3，x2－2mx－10，∴mx2－12x＝12x－1x.当x∈[1,3]时，函数y＝x－1x单调递增，∴12x－1x∈0，43，∴m0，即m的取值范围为{}m|m0.(变条件)将例3中的不等式“x2－2mx－10”变为“1＋2x＋(m－m2)4x0恒成立”其它条件不变，求m的取值范围．[解]令2x＝t，∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]，∴原不等式可化为m2－mt＋1t2，要使上式在t∈[2,8]上恒成立．只需求出f(t)＝t＋1t2在t∈[2,8]上的最小值即可．∴f(t)＝t＋1t2＝1t2＋1t＝1t＋122－14，∵1t∈18，12，∴f(t)min＝f18＝964，∴m2－m964，∴－18m98.∴m的取值范围为－18，98.1．利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．2．能成立与恒成立问题的解法：(1)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上能成立，则f(x)min≤m；若不等式f(x)m在区间D上能成立，则f(x)max≥m.(2)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则f(x)max≤m；若含有参数的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则f(x)min≥m.(3)特称命题是真命题，可以转化为能成立问题，全称命题是真命题，可以转化为恒成立问题解决．1．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3D[命题①②含有全称量词，命题③含有存在量词，为特称命题，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0＞0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x＞0D[命题的否定是：对任意x∈R,2x＞0.]3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是________．①存在一个α，使tan(90°－α)＝tanα；②存在实数x0，使sinx0＝π2；③对一切α，sin(180°－α)＝sinα；④sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.[解析]只有①②中的命题是特称命题，而由于|sinx|≤1，所以sinx0＝π2不成立，故②中命题为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tanα，故①中命题为真命题．[答案]①4．命题：“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________．[解析]∵命题“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”是特称命题，∴否定命题为：“任意x∈R，使x2＋x＋10”，故答案为：“任意x∈R，使x2＋x＋10”．[答案]任意x∈R，使x2＋x＋1