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4.1逻辑联结词“且”4.2逻辑联结词“或”学习目标：1.了解联结词“且”“或”的含义．(重点、难点)2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．(重点、易错点)1．“且”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p且q．(2)命题p且q的真假判定pqp且q真真真真假假假真假假假假思考：观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数．它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义？[提示]命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”“同时”的意思．“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替．2．“或”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p或q．(2)命题p或q的真假判定pqp或q真真真真假真假真真假假假(3)逻辑联结词“或”与集合中的“并集”含义相同，可以用“或”来定义集合A与B的并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．思考：观察三个命题：①32；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解．逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？[提示]命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．“或”从集合的角度看，可设A＝{x|x满足命题p}，B＝{x|x满足命题q}，则“p或q”对应于集合中的并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q即两者中至少要有一个．1.判断正误(1)若p为假命题，则“p或q”是假命题．()(2)当p是真命题时，“p且q”为真命题．()(3)当p是真命题时，“p或q”为真命题．()[答案](1)×(2)×(3)√2.“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．不都是0A[xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.]3.若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p或q”为假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．以上都不对B[因为p为真命题，q为假命题，“p或q”为真命题．]4.(1)命题“3≤3”的构成形式是________．(2)命题“5≥3”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题．(1)3＜3或3＝3(2)或p或q[(1)3≤3含逻辑联结词“或”，形式为3＜3或3＝3.(2)“5≥3”即“5＞3或5＝3”，含逻辑联结词“或”是“p或q”形式]用逻辑联结词构造新命题【例1】分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．[解](1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．用逻辑联结词“且”“或”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．1．(1)命题“1不是素数且不是合数”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题．(2)对“任意x∈R，总有|x|≥0”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题．(1)且p且q(2)或p或q[(1)含逻辑联结词“且”是“p且q”形式命题．(2)“任意x∈R，总有|x|≥0”，即“任意x∈R，有|x|＞0或|x|＝0”含逻辑联结词“或”，是“p或q”形式命题．]含逻辑联结词的命题的真假判断【例2】指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．(1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)0≤2；(4)30是5的倍数，也是7的倍数．[解](1)该命题是“p且q”的形式．其中p：等腰三角形顶角平分线垂直于底边；q：等腰三角形顶角平分线平分底边．因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题．(2)该命题是“p或q”的形式．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．因为p是真命题，所以该命题是真命题．(3)此命题为“p或q”形式的命题，其中p：02；q：0＝2.因为p是真命题，所以该命题是真命题．(4)此命题为“p且q”形式的命题，其中p：30是5的倍数；q：30是7的倍数．因为q是假命题，所以该命题是假命题．判断“p且q”“p或q”形式复合命题真假的步骤第一步，确定复合命题的构成形式；第二步，判断简单命题p，q的真假；第三步，根据真值表作出判断．提醒：一真“或”为真，一假“且”为假．2．(1)下列命题中既是“p或q”形式，又是真命题的是()A．方程x2－x＋2＝0的两根是－2，1B．方程x2＋x＋1＝0没有实根C．2n－1(n∈Z)是奇数D．a2＋b2≥0(a，b∈R)D[A选项中－2，1都不是方程的根；B选项不是“p或q”的形式；C选项也不是“p或q”的形式；D选项中a2＋b2≥0由a2＋b20或a2＋b2＝0构成，且是真命题，故选D.](2)指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：①李明是男生且是高一学生；②12能被3或4整除．[解]①此命题为“p且q”形式的命题．其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．②此命题为“p或q”形式的命题．其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．根据命题的真假求参数范围[探究问题]1．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题吗？[提示]是．因为当且仅当p，q都为真命题时，“p且q”为真命题．2．命题“p或q”是真命题时，命题p一定是真命题吗？[提示]不一定．因为当p，q至少有一个命题为真命题时，“p或q”便可以为真命题．【例3】已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．[思路探究]由p或q为真，p且q为假，得出p为真，q为假，或p为假，q为真，故可分别求出p，q的取值范围，再结合命题的真假求解．[解]p：Δ＝m2－40，－m0，解得m2.q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)0，解得1m3.∵p或q为真，p且q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真，即m2，m≤1或m≥3或m≤2，1m3，解得m≥3或1m≤2.故m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．1.(变条件)本例中将“p或q为真，p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围．[解]∵“p且q”为真命题，∴p为真且q为真．p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根⇔Δ＝m2－40，－m0⇔m2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根⇔Δ＝16(m－2)2－160⇔1m3.∴实数m的取值范围为(2，3)．2.(变条件)本例中将“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根”改为“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实数根”，求实数m的取值范围．[解]p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔Δ＝m2－40，－m0⇔m2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实根⇔Δ＝16(m－2)2－160⇔m3或m1.∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q为一真一假．①当p为真q为假时，则m2，1≤m≤3，解得2m≤3.②当p为假q为真时，则m≤2，m3或m1，解得m1.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，1)∪(2，3]．解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想．1．给出下列命题：①王小明既是三好学生，又是优秀团员；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个C[①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“或”，共有2个命题①③使用逻辑联结词，故选C.]2．下列命题是真命题的是()A．52且78B．34或34C．9≤7D．方程x2－3x＋4＝0有实根B[虽然p：34是假命题，但q：34是真命题，所以p或q是真命题．]3．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，那么()A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q只有一个是真命题D．命题p、q至少有一个是真命题C[p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题；p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，同时满足，则p，q中一真一假，∴p、q只有一个是真命题，故选C.]4．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)0是假命题，f(2)0是真命题，则实数m的取值范围是________．[3，8)[依题意，f（1）≤0，f（2）0，即12＋2－m≤0，22＋4－m0，解得3≤m8.]5．分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．[解](1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p且q为假．p或q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p或q为真．(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p且q为真．p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p或q为真．(3)p且q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p且q为真．p或q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p或q为真．(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p且q为真．p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p或q为真．