2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语章末复习课讲义 苏教版选修2-1

第1章常用逻辑用语充分条件与必要条件的判断【例1】(1)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[当1＜x＜2时，2＜2x＜4，所以p⇒q；但由2x＞1，得x＞0，所以qp.](2)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．[解析]当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0.综上可知，“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．[答案]充要条件的充要关系的常用判断方法1．定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．2．等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3A[a＞b＋1⇒a＞b，a＞ba＞b＋1.]充分、必要、充要条件的应用【例2】已知函数f(x)＝2sin2x－π3(x∈R)．设p：x∈π4，π2，q：m－3＜f(x)＜m＋3.若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．[解]∵p：x∈π4，π2⇒2x－π3∈π6，2π3，∴f(x)∈[]1，2.又∵p是q的充分条件，∴m－3＜1，m＋3＞2，解得－1＜m＜4，即m的取值范围为(－1,4)．利用条件的充要性求参数范围的两个策略1．转化为集合关系解决此类问题，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．利用逆否命题转化解决，利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．2．已知p：2x2－9x＋a＜0，q：x2－4x＋3＜0，x2－6x＋8＜0，且q是p的充分条件，求实数a的取值范围．[解]由x2－4x＋3＜0，x2－6x＋8＜0，得1＜x＜3，2＜x＜4，即2＜x＜3.所以q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，因为q⇒p，所以B⊆A.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使B⊆A，则方程f(x)＝0的两根分别在区间(－∞，2]和[3，＋∞)内，所以f2≤0，f3≤0，即8－18＋a≤0，18－27＋a≤0.解得a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}.利用命题的真假求参数的取值【例3】若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．[解]法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，而∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝2－a2，a≥－1，1＋a2＋2－a2，a＜－1.由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或Δ＝4a2－42－a＞0，a＜－1，f－1≥0，即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．含量词的命题中求参数范围的讨论步骤1．先根据条件推出每一个命题的真假．2．求出每个命题为真命题时参数的取值范围．3．最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．3．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命题“∃t0∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是________．0，43[集合A是一个以C1(4,0)为圆心，r1＝1为半径的圆周上的点的集合，集合B是一个以C2(t，at－2)为圆心，r2＝1为半径的圆周上的点的集合，依题意，|C1C2|≤r1＋r2，所以∃t0∈R，t0－42＋at0－22≤2，即∃t0∈R，(a2＋1)·t20－(8＋4a)t0＋16≤0，所以Δ＝－48a2＋64a≥0，解得0≤a≤43.]