搜索
第1章常用逻辑用语充分条件、必要条件与充要条件的探究【例1】已知p：－2m0,0n1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．[解]若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0＜x1＜1,0＜x2＜1，有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1.根据根与系数的关系x1＋x2＝－m，x1x2＝n，得0＜－m＜2，0＜n＜1，即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q⇒p.反之，取m＝－13，n＝12，那么方程变为x2－13x＋12＝0，则Δ＝19－4×12＜0，此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pq.综上所述，p是q的必要不充分条件．对于充分条件、必要条件与充分必要条件的判定，实际上是对命题真假的判定，记“若p，则q”为真命题，记为“p⇒q”，“若p，则q”为假命题，记为“pq”.提醒：充分条件、必要条件与充要条件的探究，需要从两个方面加以论证，切勿漏掉其中一个方面.1．已知p：{x|－2≤x≤10}，q：{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[解]法一：令A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}＝{x|[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0，m＞0}＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．∵p是q的充分不必要条件，∴AB.∴1－m＜1＋m，1－m≤－2，1＋m＞10，或1－m＜1＋m，1－m＜－2，1＋m≥10，解得m≥9.故实数m的取值范围是{m|m≥9}．法二：∵p是q的充分不必要条件，∴綈p是綈q的必要不充分条件．由法一知p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，∴綈p：C＝{x|x＜－2或x＞10}，綈q：D＝{x|x＜1－m或x＞1＋m，m＞0}．∴DC，∴1－m＜1＋m，1－m≤－2，1＋m＞10，或1－m＜1＋m，1－m＜－2，1＋m≥10，解得m≥9.故实数m的取值范围是{m|m≥9}．命题的否定与否命题【例2】写出下列命题的否定和否命题：(1)若x＝2或x＝－1，则x2－x－2＝0；(2)若集合B真包含于集合A，则集合A包含于集合B.[解](1)命题的否定：若x＝2或x＝－1，则x2－x－2≠0.否命题：若x≠2且x≠－1，则x2－x－2≠0.(2)命题的否定：若集合B真包含于集合A，则集合A不包含于集合B.否命题：若集合B不真包含于集合A，则集合A不包含于集合B.命题的否定与否命题的区别1定义,命题的否定一般是直接对命题的结论进行否定，而否命题是对原命题的条件和结论分别否定组成的命题.2构成形式,对于“若p，则q”形式的命题，其命题的否定为“若p，则綈q”，而其否命题的形式为“若綈p，则綈q”3与原命题的真假关系,命题的否定与原命题的真假性总是相对的，即一真一假，而否命题与原命题的真假性无必然联系.2．请写出下列命题的否命题和命题的否定．(1)若|x|＋|y|＝0，则x＝y＝0；(2)若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等；(3)若x2－3x－4≤0，则－1≤x≤4.[解](1)否命题：若|x|＋|y|≠0，则x，y中至少有一个不为0；命题的否定：若|x|＋|y|＝0，则x，y中至少有一个不为0.(2)否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任意两个内角都不相等；命题的否定：若△ABC是等腰三角形，则它的任意两个内角都不相等．(3)否命题：若x2－3x－40，则x－1或x4；命题的否定：若x2－3x－4≤0，则x－1或x4.等价转化思想的应用【例3】已知c0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围．[解]函数y＝cx在R上单调递减⇔0＜c＜1.不等式x＋|x－2c|1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.∵x＋|x－2c|＝2x－2c，x≥2c，2c，x＜2c，函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，∴2c＞1，得c＞12.如果p真q假，则0＜c＜1，0＜c≤12，解得0c≤12；如果q真p假，则c≥1，c＞12，解得c≥1.∴c的取值范围为0，12∪[1，＋∞)．等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.3．已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x1＋m(m0)．(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．[解](1)由命题p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.命题q：1－m≤x＜1＋m(m0)．∵p是q的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m)，∴1－m≤－1，5＜1＋m，解得m＞4，则实数m的取值范围为(4，＋∞)．(2)∵m＝5，∴命题q：－4≤x6.∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p，q为一真一假．当p真q假时，可得－1≤x≤5，x＜－4或x≥6，解得x∈∅.当q真p假时，可得x＜－1或x＞5，－4≤x＜6，解得－4≤x－1或5x6.因此x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6).分类讨论思想的应用【例4】已知关于x的方程(m∈Z)：mx2－4x＋4＝0，①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②求方程①和②的根都是整数的充要条件．[解]当m＝0时，方程①的根为x＝1，方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－4×4m≥0⇒m≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0⇒m≥－54.∴－54≤m≤1.又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1.当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，方程②为x2－4x－5＝0.此时①和②均有整数根．综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.解题中要找清讨论的标准.4．已知p：x－5x－3≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．[解]∵p：x－5x－3≥2，∴x－1x－3≤0，即1≤x＜3.又∵q：x2－ax≤x－a，∴x2－(a＋1)x＋a≤0.①当a＜1时，a≤x≤1；②当a＝1时，x＝1；③当a＞1时，1≤x≤a.设q对应的集合为A，p对应的集合为B，∵綈p是綈q的充分条件．∴∁RB⊆∁RA，即A⊆B.当a＜1时，AB，不合题意；当a＝1时，A⊆B，符合题意；当a＞1时，1≤x≤a，要使A⊆B，则1＜a＜3.综上，符合条件的a∈[1,3)．