2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 课时作业1 变化率问题

课时作业1变化率问题知识点一函数的平均变化率1.当自变量从x0变到x1(x0x1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1]上的导数答案A解析由平均变化率的定义，可知当自变量从x0变到x1(x0x1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．2．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A．2Δt＋4B．－2Δt＋4C．2Δt－4D．－2Δt－4答案D解析ΔsΔt＝4－21＋Δt2－4＋2×12Δt＝－4Δt－2Δt2Δt＝－2Δt－4.3．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A．3B．2C．1D．4答案B解析由已知得m2－1－12－1m－1＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.知识点二平均变化率的应用4.将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加()A．8πR·ΔRB．8πR·ΔR＋4π(ΔR)2C．4πR·ΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2答案B解析ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πR·ΔR＋4π(ΔR)2.5．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为________．答案2345解析从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为f1－f－21－－2＝1－－13＝23；函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为f3－f－23－－2＝3－－15＝45.6．求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．解当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx3－x30Δx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋122＝194.一、选择题1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44答案B解析Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26m/s，则实数m的值为()A．2B．1C．－1D．6答案B解析由已知，得s3－s23－2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，选B.3．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2答案C解析根据平均变化率的定义，可知ΔyΔx＝2a＋b－a＋b2－1＝a＝3.故选C.4．若已知函数f(x)＝－x2＋10的图象上点32，314及邻近点32＋Δx，314＋Δy，则ΔyΔx＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2D．－Δx－3答案D解析∵Δy＝f32＋Δx－f32＝－3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝－3Δx－Δx2Δx＝－3－Δx.故选D.5．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为()A.v1v2v3B.v3v2v1C.v2v1v3D.v2v3v1答案B解析v1＝st1－st0t1－t0＝kOA，v2＝st2－st1t2－t1＝kAB，v3＝st3－st2t3－t2＝kBC，由图象知kOAkABkBC.选B.二、填空题6．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10m/s2)答案30＋5Δt解析Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v－＝ΔsΔt＝30＋5Δt.7．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录：9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是________米/秒．(最后结果精确到0.01)答案11.93解析Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，v－＝ΔsΔt≈11.93米/秒．8．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)．答案小于解析由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)s2(0)，所以s1t0－s10t0s2t0－s20t0，即v－甲v－乙．三、解答题9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？解(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝1200＋5＋15＝39，T(10)＝12010＋5＋15＝23，故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率为T10－T010＝－1610＝－1.6.它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.10．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝ΔyΔx＝10－050－0＝15，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝ΔyΔx＝20－1070－50＝12，∴hBChAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭．