2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的计算 课时作业4 几个常用函数的

课时作业4几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式知识点一求导公式的直接运用1.若y＝cos2π3，则y′＝()A．－32B．－12C．0D.12答案C解析因为y＝cos23π＝－12是常数函数，常数函数的导数为0，故选C.2．下列结论：①(cosx)′＝sinx；②sinπ3′＝cosπ3；③若y＝1x2，则y′|x＝3＝－227；④－1x′＝12xx.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案C解析因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；因为sinπ3＝32，而32′＝0，所以②错误；因为1x2′＝(x－2)′＝－2x－3，所以y′|x＝3＝－227，所以③正确；因为－1x′＝＝12xx，所以④正确．3．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g(2)＝1f′2，则m＝________.答案－2解析f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，g(2)＝2m，∵g(2)＝1f′2，∴2m＝－4，∴m＝－2.知识点二利用导数公式求切线方程4.过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为()A.12，2B.12，2或－12，－2C.－12，－2D.12，－2答案B解析y′＝1x′＝－1x2＝－4，x＝±12，故选B.5．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3答案A解析设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝1x，则f′(x1)·f′(x2)＝1x1x20，故函数y＝lnx不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x20，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9x21x22≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选A.一、选择题1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定答案B解析∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，切点有两个，即可得切线有2条．2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3答案A解析若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2，适合条件，故选A.3．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x()A．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快B．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢C．在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快D．以上都不对答案D解析函数的导数表示函数的增长速度，由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.若2x2即x1时，f(x)增长速度比g(x)增长速度快，若2x2即x1时，f(x)比g(x)增长速度慢，在x＝1时两者增长速度相同．故选D.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2答案C解析∵y＝lnx的导数y′＝1x，∴令1x＝12，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln2－1.5．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()A．1B.728C.528D.3答案B解析依题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．由导数的几何意义可知在P点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1.得x0＝－12.故P点的坐标为－12，－14，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝－12＋14＋22＝728.二、填空题6．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．答案1ex－ey＝0解析∵y′＝(lnx)′＝1x，∴y′|x＝e＝1e.∴切线方程为y－1＝1e(x－e)，即x－ey＝0.7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.答案1解析因为f′(x)＝0，g′(x)＝1x，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－1x＝1.解得x＝1或x＝－12，因为x0，所以x＝1.8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为_______．答案1n＋1解析对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝nn＋1，∴x1·x2·…·xn＝12×23×34×…×n－1n×nn＋1＝1n＋1.三、解答题9．已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．解∵y＝1x，∴y′＝－1x2.(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上，则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－1a2.则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)代入方程：0－1a＝－1a2(1－a)．将得a＝12，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.10．讨论关于x的方程lnx＝kx解的个数．解如图，方程lnx＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝lnx交点的个数．设直线y＝kx与y＝lnx切于点P(x0，lnx0)，则kx0＝lnx0.因为(lnx)′＝1x，所以k＝1x0，kx0＝1＝lnx0.所以x0＝e，k＝1e.结合图象，知当k≤0或k＝1e时，方程lnx＝kx有一个解；当0k1e时，方程lnx＝kx有两个解；当k1e时，方程lnx＝kx无解．